Che pizza la matematica

Siete tra quelli che la matematica proprio non la digeriscono? Non preoccupatevi, questo articolo cercherà di cucinarvela in modo che anche voi possiate ingoiare qualche nozione di matematica in più senza avere la nausea. Per fare ciò vedremo la matematica che si nasconde dietro a uno dei piatti più amati del mondo: la pizza.

Iniziamo a prepararla. Per l’impasto buttate insieme acqua, farina e lievito. Se avete indovinato le proporzioni giuste (visto inizia a esserci già della matematica, ma questa la saltiamo…) dovreste avere un impasto solido ma malleabile che ora dovrete stendere. Bene, ma di che forma? “Tonda!!” insorgeranno i tradizionalisti e i puristi della pizza. Da matematici non ci precludiamo la possibilità di scegliere anche una delle altre infinite forme possibili, dopotutto si possono trovare pizze di ogni forma: al trancio, al metro e vi garantisco di averne trovata una a forma di Pokèmon. Scegliamo quindi un criterio per determinare la forma ideale: essendo particolarmente golosi, ovviamente sceglieremo la forma che ci permetta di mettere più condimento, quindi con il bordo minore a parità di area. Oltre a essere pizzofili siamo pure pigri, quindi per rispondere a questa domanda ci rifaremo all’articolo di Francesco Bonesi su mathisintheair.it (lo trovate qui) che ha svolto magistralmente tutti i conti e di cui riportiamo brevemente i risultati (ma consigliamo di leggere l’articolo, anche e soprattutto ai non addetti ai lavori). Cerchiamo prima la figura piana con minor bordo, cioè perimetro, a parità di area. Dai conti risulta che maggiore è il numero di lati meglio è, i matematici a questo punto esordirebbero con “servono infiniti lati!!”, vero. Una figura con infiniti lati, per noi mortali, non è nient’altro che un cerchio. Va bene, ora anziché considerare il perimetro che non ha spessore, consideriamo la crosta che invece ce l’ha. In questo caso, con qualche conto in più, si giunge al risultato che se lo spessore del bordo è minore dell’87% del raggio, allora l’area del cerchio è maggiore di qualunque poligono con più lati del triangolo. Siccome normalmente questa condizione è rispettata, la pizza tonda ha un’area maggiore, e quindi risulta più golosa. Con buona pace dei tradizionalisti.
Una volta steso l’impasto, conditela come più vi aggrada e infornatela, sfornatelae munitevi di coltello: altra matematica è in arrivo. Se siete costretti a dividerla con altri, tagliare la pizza è sempre un  delicato equilibrio socio-politico, non si vuole dispiacere nessuno. Se i commensali sono una potenza di 2 (4,8,16,32…) la questione è semplice: basta dividerla seguendo i punti cardinali, tracciando ogni volta due linee perpendicolari. In realtà esiste un teorema detto proprio “teorema della pizza” che afferma che se scegliete un punto qualunque della pizza, tagliate un numero di fette multiplo di 4 che hanno quel punto come centro, e tutte dello stesso angolo, allora la somma delle aree delle fette dispari e di quelle pari sono uguali, in sostanza se siete in due e le mangiate alternandovi, ognuno mangia la stessa quantità. Joel Haddley e Stephen Worsley dell’Università di Liverpool hanno trovato il modo di fare altre combinazioni, anche molto esotiche. Ad esempio per dividere la pizza in multipli di sei basta fare tre tagli a forma di S passanti per il centro e poi dividerli ulteriormente partendo dal vertice sul bordo e arrivando a metà del bordo opposto. Se poi avete commensali particolarmente esigenti, che magari non vogliono il bordo, o che si lamentano di una zona particolarmente poco condita, non preoccupatevi, i due matematici inglesi hanno trovato la soluzione anche per voi. Basta seguire uno dei mosaici nella figura sottostante, dopotutto l’articolo di Haddley e Worsley dimostra che esistono infinite configurazioni di fette della stessa area.

Tre possibili modi per tagliare la pizza e che soddisfano tutti i gusti
Tre possibili modi per tagliare la pizza e che soddisfano tutti i gusti

Finalmente la pizza è calda, tagliata e pronta per essere mangiata, se come me adorate mangiarla rigorosamente con le mani, allora inconsapevolmente usate un teorema matematico molto importante, anzi egregio (tranquilli vi sarà chiaro fra poche righe). Vi sarà capitato senza dubbio che al momento di afferrare la fetta per la crosta, questa si pieghi verso il basso facendo rovinosamente cadere tutto il condimento. Per fortuna ci viene in aiuto Karl Gauss, il matematico tedesco dell’Ottocento. Tracciate una linea dal vertice della fetta a metà del lato curvo (mi raccomando una linea immaginaria, non rovinate la pizza), che chiameremo curvatura verticale e una perpendicolare che sarà la curvatura orizzontale, queste sono quelle che vengono chiamate curvature principali. Gauss trovò che il prodotto di queste due deve rimanere costante in particolari trasformazioni, tra cui quella del piegare la figura, e chiamò questo teorema “Theorema egregium”. Siccome normalmente la fetta è piatta questo prodotto è zero, e così deve rimanere, per farlo una delle due deve rimanere sempre dritta. Se afferrate la crosta la curvatura verticale si piega e quindi quella orizzontale rimane dritta, mentre se piego la fetta alzando i lati è la curvatura verticale che deve rimanere dritta e quindi più comoda da mangiare.
Arrivati a questo punto, se tutta questa matematica non vi ha fatto passare la fame, non mi resta che augurarvi buon appetito.

 

Fonte immagine: arXiv:1512.03794