Cosa preferireste vincere: una capra o una bella macchina sportiva? Ipotizziamo che facciate la scelta più banale e scegliate la macchina. Per avere il vostro premio non dovete avere grandi doti o conoscenze, dovete semplicemente scegliere fra tre porte: dietro una di queste c’è il vostro tanto desiderato bolide, dietro alle altre due una capra. Questa situazione assomiglia molto a quella di un  quiz televisivo molto popolare negli Stati Uniti a partire dagli anni Sessanta, conosciuto nella versione originale con il nome “Let’s make a deal” e condotto da Monty Hall.

Nel 1975, il matematico Steven Selvin mandò una lettera alla rivista American Statistician con un problema ispirato al programma televisivo, che divenne famoso come “il problema di Monty Hall”. Selvin propose che dopo che il concorrente ha scelto una porta il conduttore apre una di quelle in cui sicuramente c’è una capra; a questo punto chiede al concorrente se intende cambiare o meno la propria scelta. Cosa fareste voi? Conviene cambiare oppure no?. Al momento della prima scelta, la probabilità di trovare la macchina e non una capra scegliendo una porta a caso è di ⅓ (circa il 33.3%). Dopo aver scelto, Monty Hall apre un’altra porta, vi mostra la capra, e vi chiede se volete cambiare la vostra scelta. A questo punto sarete portati a pensare di avere il 50% di possibilità di aver scelto la porta giusta, ma in questo modo ignorereste che c’era una terza porta inizialmente e considerereste solo le ultime due finali.

Quando calcoliamo la probabilità di un evento bisogna considerare il nostro grado di conoscenza di quel fenomeno. Senza dilungarci troppo (per chi fosse interessato alla parte più matematica della faccenda, sono riportati i conti e le formule a fine articolo), quello che ci serve è il teorema della probabilità condizionata, enunciato dal matematico inglese Thomas Bayes e pubblicato nel 1763 dopo la sua morte. Il teorema di Bayes ci dice come calcolare la probabilità che un evento accada dato il fatto che un altro evento a esso connesso è capitato, esattamente come nel problema di Monty Hall. Dall’applicazione del teorema si vede che la probabilità di scegliere la porta con l’automobile dietro aumenta se si cambia quando il conduttore ce ne dà la possibilità. Per la precisione, cambiando si hanno i 2/3 (circa 67%) di possibilità di vincere.

L’uso del teorema di Bayes e delle sue conseguenze ha fatto nascere un nuovo campo della statistica, detta appunto statistica bayesiana, in cui la probabilità che accada un evento non è più legata alla frequenza con cui accade tale evento, ma al grado di conoscenza che si ha di esso. Con questo metodo si ha una probabilità legata a un evento, detta “a priori” e data da modelli o esperienze passate, che viene aggiornata quando accade un evento o si fanno esperimenti a essa legata. Se per esempio si considera una moneta, la probabilità a priori che lanciandola esca testa è del 50%, ma se dopo 100 lanci (esperimento), ci accorgiamo che testa è uscita solo 10 volte, allora la nostra probabilità verrà aggiornata e sarà minore di quella a priori (iniziamo a credere che la moneta non sia del tutto onesta). Oggi la statistica bayesiana è molto utilizzata nell’ambito dell’analisi del rischio legato a sistemi più o meno complessi.

Un caso simile al problema di Monty Hall potrebbe sembrare il gioco televisivo “Affari Tuoi”. In questo gioco ogni concorrente possiede un pacco contenete un premio sconosciuto che va da pochi centesimi a 500000 euro. Tra i venti concorrenti della puntata viene scelto il giocatore che dovrà scegliere gli altri pacchi da aprire. Durante la puntata, al giocatore vengono fatte delle offerte che possono essere somme di denaro inferiori a quella massima ancora in gioco o la possibilità di cambiare pacco con uno degli altri concorrenti. Alla fine del gioco, se non ha accettato il denaro proposto, vincerà il contenuto del pacco in suo possesso. In questo caso è il concorrente ad aprire i pacchi e, a differenza del presentatore nel problema di Monty Hall, egli non conosce il contenuto dei pacchi, né del suo né di quello degli altri concorrenti. Avrà quindi una certa possibilità di aprire pacchi contenenti un premio inferiore a 500000 Euro,  ma anche di aprire il pacco migliore prima della fine della puntata. Aggiungendo questa ulteriore ipotesi al calcolo delle probabilità con il teorema di Bayes si ottengono le stesse probabilità che si averebbero se a ogni passaggio ci dimenticassimo di quello che è successo precedentemente, quindi nel caso rimanessimo con tre pacchi, ne aprissimo uno che non contiene il premio massimo, ci aspettiamo di avere il 50% di possibilità di aver fatto la scelta giusta, esattamente come si aspetterebbe chi non conosce il problema di Monty Hall.

In conclusione vorrei ricordare che in entrambi i giochi stiamo parlando di probabilità, quindi fare la scelta “probabilisticamente” più saggia non è sinonimo di certezza di vittoria, c’è una probabilità piuttosto consistente di perdere, senza tenere conto che anche gli eventi più improbabili (ma non impossibili) possono sempre accadere. Su questo si basa il successo del gioco d’azzardo.

 

Per i più temerari facciamo due conti:

Il teorema di Bayes

P(A|B): Probabilità che l’evento A accada dato l’evento B (probabilità condizionata);

P(B|A): Probabilità che l’evento B accada dato l’evento A;

P(A): Probabilità che accada A (probabilità a priori);

P(B): Probabilità che accada B;

P(A|B)=P(B|A) x P(A) / P(B)

 

Caso Monty Hall

Ai= dietro alla porta i c’è l’auto

Supponiamo di scegliere la porta 1, la probabilità che dietro ci sia l’automobile è:

P(A1) = 1/3= 33.3%

Supponiamo che il presentatore apra la porta 2 dietro cui c’è una capra, chiameremo questo evento B2. La probabilità di vincere senza cambiare scelta, secondo il teorema di Bayes, è data dalla formula:

P(A1|B2)= P(B2|A1P(A1)/P(B2)= ½ x 1/3 / 1/2= 1/3=33.3%

P(A1|B2)= Probabilità che l’automobile sia dietro la porta 1, dato il fatto che dietro la porta 2 c’è una capra;

P(B2|A1)=Probabilità che Monty Hall apra la porta 2, supponendo che dietro alla porta 1 ci sia un’automobile;

di conseguenza la probabilità di non vincere, cioè l’automobile è dietro la terza porta, è

P(A3|B2)=1- 1/3=2/3=66.7%

da cui si deduce che conviene cambiare scelta.

 

Caso Affari Tuoi

P(V)= Probabilità che il concorrente possieda il pacco vincente;

P(B)= Probabilità che venga aperto un pacco che non contiene il premio massimo;

P(V|B)= Probabilità di avere il pacco vincente avendo aperto un pacco perdente;

P(B|V)= Probabilità di aprire un pacco perdente nel caso in cui si abbia quello vincente;

Consideriamo il caso che il concorrente si trovi all’inizio del gioco e abbia ancora 19 pacchi da aprire, eccetto il suo ovviamente. La probabilità di avere il pacco vincente applicando il teorema di Bayes è:

P(V|B)= P(B|V)x P(V)/P(B)=1x 1/20 / 19/20=1/19=5.26%

dove P(B|V)=1 perché, se avessimo il pacco vincente, è certo che apriremmo un pacco che non lo contiene.

Perciò la probabilità di non avere il pacco vincente è 18/19, ma, poiché questa probabilità è equamente distribuita tra i 18 pacchi rimanenti, tenere il pacco o cambiarlo portano alla stessa probabilità.

Analogamente si trovano le probabilità di quando il concorrente ha a disposizione meno pacchi da aprire e uno di essi è il pacco con il premio massimo. I risultati sono riportati nella tabella sottostante:

Pacchi in gioco, prima dell’apertura di un pacco perdente Probabilità di avere il pacco vincente, data l’apertura di un pacco perdente
20 5,26%
19 5,56%
18 5,88%
17 6,25%
16 6,67%
15 7,14%
14 7,69%
13 8,33%
12 9,09%
11 10%
10 11,11%
9 12,50%
8 14,28%
7 16,67%
6 20%
5 25%
4 33,33%
3 50%
2 100%

 

Fonte dell’immagine: Wikimedia Commons

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