La matematica è una scienza astratta, solo in un secondo tempo si applica realtà. Tra Pitagora e Riemann ecco la differenza tra teoremi e congetture.

Se qualcuno criticasse un film di supereroi dicendo che è troppo inverosimile non suonerebbe un po’ strano? I matematici hanno la stessa reazione quando la loro disciplina viene accusata di essere “troppo astratta”, soprattutto nel momento in cui da operazioni e formule si passa a parlare di teoremi e dimostrazioni. Infatti, fondarsi su idee e costruzioni astratte è esattamente ciò che caratterizza la Matematica, la sua applicazione ai problemi della vita concreta è solo un passo successivo.
Per indagare meglio questo meccanismo, iniziamo da due grandi enunciati. Il primo è il ben noto teorema di Pitagora:

“In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.”

Mentre il secondo, un po’ meno familiare, è la congettura di Riemann:

“La parte reale di ogni radice non banale della funzione zeta è 1/2.”

Perché chiamiamo uno teorema e l’altro congettura? Perché solo il primo è stato dimostrato. La prova originaria si trova negli “Elementi” di Euclide (300 a.C. circa), poi ne sono seguite innumerevoli altre, più o meno fantasiose, alcune addirittura in rima. In questo modo l’enunciato si è aggiudicato il titolo di teorema. Il secondo invece no, è ancora a livello di congettura e chi ne darà dimostrazione probabilmente dovrà spartire con Euclide e Riemann la fama eterna, ma avrà l’ulteriore soddisfazione di ricevere un milione di dollari come premio.

Una dimostrazione grafica del teorema di Pitagora (Fonte: Wikipedia)

Dare una dimostrazione significa assicurare con certezza assoluta che la frase che pronunciamo sia vera. A guardare bene i due enunciati, c’è una piccola e insolente parola che compare in entrambi: ogni. Questa è la parola fondamentale che richiede una rigorosa dimostrazione ed è su questo che si basa la vera forza della Matematica. Dire che il teorema di Pitagora è valido implica che la proprietà per cui “l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti” non vale per uno, mille o un triliardo di triangoli rettangoli, ma davvero per l’intera categoria dei i triangoli che hanno un angolo retto.

Per essere precisi, i triangoli di cui parlano Pitagora ed Euclide non sono proprio quelli che a scuola disegniamo sul quaderno. Il triangolo rettangolo è un’astrazione, il concetto matematico di una figura geometrica piana, cioè che non ha spessore, e di cui sappiamo solo che ha tre lati e un angolo retto: è fuori dal mondo tangibile. Quando lo disegniamo con matita e righello, stiamo studiando una particolare rappresentazione di triangolo rettangolo, quello con le dimensioni che gli abbiamo assegnato. Il teorema di Pitagora, invece, è vero anche se non conosciamo le misure precise dei lati (infatti, classicamente, questi si indicano con a, b e c). La cosa importante è sapere che sommando i quadrati delle lunghezze dei lati più corti si ottiene il quadrato della lunghezza del lato più lungo, cioè a^2+b^2=c^2.

Se nella mente di Pitagora come astrazione c’era il triangolo, in quella di Riemann c’era il numero. La funzione zeta a cui si riferisce, infatti, permette di individuare in modo infallibile i numeri primi. I numeri sono oggetti matematici che manipoliamo molto più spesso delle figure geometriche, quindi abbiamo ben chiaro in mente il concetto di uno, di due, di tre, eccetera, ma non ci rendiamo conto del fatto che siano anche questi un’astrazione.
I triangoli, almeno, possono essere disegnati, ma come facciamo a rappresentare, ad esempio, il numero due? Tracciare il simbolo “2” su una lavagna sicuramente non basta, soprattutto se magari vogliamo spiegarlo a qualcuno che usa caratteri diversi, come un cinese. Allora potremmo disegnare una pecora e poi disegnarne accanto un’altra, oppure prendere un sasso e poi mettergliene vicino un altro. Ma siamo sicuri che sia il disegno delle pecore che l’esiguo mucchietto di sassi rappresentino entrambi il numero due? A colpo d’occhio non ci sono dubbi che la quantità di pecore sia uguale a quella dei sassi. Tuttavia, se invece di rappresentare il numero due volessimo rappresentare il numero cinquantaquattro, avremmo un intero gregge disegnato sulla lavagna e un bel mucchio davanti a noi. Sarebbe allora più difficile affermare, con una sola occhiata, che c’è lo stesso numero di pecore e di sassi. Per controllare potremmo usare lo stesso metodo usato dai pastori ben prima che venissero introdotti i numeri per contare. Al mattino facevano una pila di pietre mettendone una per ogni pecora che usciva e la sera ne toglievano una per ogni pecora che rientrava. Se non restava nessuna pietra, le pecore erano tutte salve. In effetti, la parola calcolo deriva proprio dal latino calculus, sassolino(1).

Due insiemi in corrispondenza biunivoca (Fonte: Wikipedia)

In generale, prendere due insiemi di oggetti e accoppiare ogni elemento del primo con uno del secondo senza che ne resti nessuno fuori è quello che in matematica si chiama creare una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi. Allora, dire che un insieme ha cinque elementi significa dire che esso si può mettere in corrispondenza biunivoca con il sottoinsieme degli interi positivi che scriviamo come {1,2,3,4,5} e tutti gli insiemi che hanno questa proprietà verranno indicati con l’etichetta “5”. Ci siamo così costruiti un’astrazione del numero cinque e non abbiamo più bisogno di sassi, o di pecore, da portarci dietro per contare.