In un momento storico così difficile, in cui il mercato del lavoro ci costringe a un futuro incerto e trovare un’occupazione risulta spesso un’utopia, noi di Scientificast siamo qui a ricordarvi che una strada per sbarcare il lunario c’è: risolvere almeno uno dei Problemi del Millennio.

Il Clay Mathematics Institute (CMI) è una fondazione privata no-profit fondata nel 1998 da un uomo d’affari di Boston di nome Landon Clay, con lo scopo di promuovere e sostenere la ricerca matematica, perché, come si legge nella sua presentazione, “egli ritiene che la scienza e la matematica abbiano dato contributi enormi al benessere del genere umano e alla comprensione del mondo”.

A un secolo di distanza dalla presentazione dei Problemi di Hilbert, il 24 maggio 2000 il CMI annunciò l’istituzione dei Problemi del Millennio, un elenco di sette problemi irrisolti della matematica. Per ciascuno di questi – ed è questa la parte che ci interessa di più – è stanziato un premio di 1 milione di dollari, che verrà assegnato a chi ne fornisca la soluzione.

La prima volta che venni a conoscenza dei Problemi del Millennio risale a una decina di anni fa, nella leggendaria aula E dell’Istituto di Fisica di Torino. Il mio amico e compagno Gianluca, fisico brillante e all’epoca giovane studente di un corso di fisica dei fluidi, mi confidò:

«Sai che danno 1 milione di dollari a chi riesce a risolvere l’equazione di Navier-Stokes?»

«1 milione di dollari? Davvero?», chiesi stupito.

«Sì. Son tipo due secoli che cercano la soluzione generale, ma nessuno riesce a trovarla. Ieri mi ci sono messo su un’oretta, ma alla fine non ci sono riuscito manco io.»

«Hai fatto bene a provarci, Gianlu», risposi sincero.

Quindi ecco la ricetta: scegliere uno dei problemi che da decenni attanagliano le menti dei matematici di tutto il mondo, risolverlo, passare a riscuotere il milione di dollari. Facile.

Per semplificarvi ulteriormente il compito, ho pensato di presentarvi tutti i problemi, accompagnati da una breve descrizione che possa aiutarvi nella scelta. Questi i primi tre. Arriveranno anche gli altri quattro, non temete.

Teoria di Yang-Mills

Circa cinquant’anni or sono, Yang e Mills introdussero un nuovo formalismo che utilizzava alcuni concetti appartenenti al campo della geometria per descrivere il comportamento delle particelle elementari. A oggi, la teoria di Yang-Mills è un cardine del Modello Standard e le sue predizioni sono state testate da numerosi esperimenti e confermate da simulazioni al computer. Tuttavia, la sua rigorosa trattazione matematica è ancora incompleta, in particolare per quanto riguarda l’esistenza del cosiddetto mass gap, ossia un “salto” fra il più basso stato energetico possibile – quello di vuoto – e il successivo.

Ipotesi di Riemann

Nel 1859 Riemann pubblicò un articolo in cui introduceva nuove idee nello studio dei numeri primi. In particolare, egli fornì una formula per trovare il numero di primi minori di un dato valore, che era legata alle soluzioni non banali dell’equazione di variabile complessa:

$latex

\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+…=0,

$

dove $latex \zeta(s)$ è la funzione zeta che prende il suo nome. Riemann ipotizzò che tutte queste soluzioni – gli zeri della funzione zeta – fossero numeri complessi con parte reale pari a $latex \frac{1}{2}$ e Riemann stesso verificò a mano l’esattezza della sua ipotesi per i primi tre valori. A oggi, oltre 1.5 miliardi di zeri sono stati verificati: una forte evidenza sperimentale, non certo una prova matematica.

L’ipotesi di Riemann è irristolta da oltre centocinquant’anni: faceva già parte dei problemi di Hilbert e potrebbe darci informazioni molto importanti riguardo alla distribuzione dei numeri primi. Aspetta solo voi.

PS: Le soluzioni banali sono $latex s=\{-2,-4,-6,…\}$. So benissimo che ve lo stavate chiedendo.

Problema P vs NP

Ci siamo occupati dei problemi P versus NP in un recente articolo, quindi non dite che non vi aiutiamo. Un problema è di tipo P se può essere risolto da un algoritmo in un tempo polinomiale, ovvero se la sua complessità aumenta di una potenza finita al crescere dell’input. Un problema di tipo NP, invece, potrebbe essere risolto in un tempo polinomiale solo con l’aiuto di un computer non deterministico: purtroppo o per fortuna, il computer non deterministico ancora non esiste. La buona notizia è che la soluzione di un problema NP può essere verificata in un tempo polinomiale. La differenza è profondissima: trovare l’incastro delle tessere di un puzzle è un lavoraccio, ma verificare se la soluzione è corretta è un’operazione piuttosto rapida. La domanda a cui rispondere è: P=NP? In altre parole: esistono dei problemi NP che possono essere risolti in un tempo polinomiale con le tecnologie di cui siamo in possesso oggigiorno? Trovate una risposta e avrete il vostro nome scritto su qualunque manuale di crittografia. Oltre al milione, beninteso.