Spesso nei testi dei quesiti matematici fa la sua comparsa una capra, vediamo che tipo di equazione serve per risolverne uno in cui l’animale si trova a brucare all’interno di un recinto
Per qualche strana ragione, un animale che spesso è protagonista di enigmi e rompicapi è la capra. Famoso è il problema della capra, dei cavoli e del lupo (da cui il detto “salvare capra e cavoli”), un po’ meno noto è il problema di Monty-Hall, un paradosso probabilistico che coinvolge una capra e una macchina, infine c’è il problema della capra nel recinto.
Quest’ultimo quesito fece la sua prima comparsa nel 1748 nel periodico inglese The Ladies Diary: Or, The Woman’s Almanack. A onor del vero, inizialmente l’animale coinvolto nella storia era un cavallo. L’equino in questione era legato al di fuori di un recinto circolare, e la corda aveva lunghezza esattamente pari alla circonferenza di tale recinto. Quello che si chiedeva era di trovare il valore della superficie massima di terreno in cui il cavallo potesse brucare l’erba. Nel 1894, una nuova versione apparve sull’American Mathematical Monthly. Questa volta il cavallo si trovava all’interno del recinto e veniva chiesta la lunghezza della corda affinché l’area in cui potesse muoversi fosse esattamente metà di quella racchiusa dalla staccionata.
Nel problema della capra nel recinto, si richiede quale sia la lunghezza della corda a cui è legata una capra in modo che l’area della parte in cui possa brucare l’erba (in verde chiaro nella figura) sia esattamente la metà dell’area racchiusa dalla staccionata.
Nel corso degli anni, il problema è passato attraverso varie versioni. In quella arrivata a noi, a brucare l’erba nel recinto troviamo, appunto, una capra. Ciò che ha reso quello che sembra un semplice problema geometrico motivo di interesse per molti matematici è il fatto che la sua risoluzione dipende da un’equazione trascendente.
Un’equazione è un’espressione matematica che mette in relazione varie quantità, alcune note e altre no. Risolvere un’equazione significa trovare il valore di queste quantità non note. Le prime equazioni che abbiamo imparato a risolvere sono quelle algebriche in cui, solitamente, è facile trovare il valore dell’incognita. Ad esempio, l’equazione x-3=5 si risolve trovando che il valore della x è 8.
Poi ci sono le equazioni in cui la quantità incognita è l’argomento di un polinomio di secondo grado. Qui succede più spesso che si trovi un’espressione esplicita per l’incognita x, ma poi il suo valore numerico esatto non è calcolabile. In questo caso possiamo solo dare una quantità approssimata. Prendiamo l’equazione x^2+8x+5=0, di questa sono due le soluzioni. La loro espressione esplicita è -4-√11 e -4+√11, che possiamo approssimare con x=-7.3166 e x=-0.6833.
Ci sono equazioni, infine, in cui non compaiono solo polinomi, ma sono coinvolte altre funzioni, come esponenziali, logaritmi, seni e coseni. Un classico esempio è l’equazione exp(x)+x=0. Per questo tipo di equazioni, dette trascendenti, non sempre è possibile trovare un’espressione esplicita per la soluzione. Ci si deve allora accontentare del suo valore approssimato. Di solito, per ottenere il risultato più accurato possibile, si ricorre a metodi numerici che sfruttano l’aiuto dell’informatica. L’equazione da impostare per risolvere il problema della capra è proprio di questo tipo e tutte le soluzioni fornite da chi si sia cimentato nel risolverla sono sempre state approssimate.
È stato solo l’anno scorso che il matematico tedesco Ingo Ullisch è riuscito a trovare una soluzione esplicita per la lunghezza incognita della corda. L’equazione trascendente ricavata per risolvere il quesito è del tipo sen(x)-xcos(x)- π/2=0. Per riuscire nel suo intento, Ullisch ha “trapiantato” il problema nel campo nell’analisi complessa. L’analisi complessa è una parte della matematica che studia un insieme particolare di numeri, i numeri complessi, appunto. Usando questi numeri è possibile compiere operazioni come, ad esempio, fare la radice quadrata di un numero negativo. Allora, invece di vedere la variabile x come un numero reale, lo studioso l’ha considerata un numero complesso. Questo gli ha permesso di trovare un’espressione esplicita (anche se piuttosto complicata) che risolvesse l’equazione.
Ovviamente, prima che Ullisch trovasse questa soluzione, i matematici si sono divertiti a generalizzare il problema. Hanno considerato sia altre forme geometriche per il recinto, sia immaginandolo in spazi di dimensione maggiore. Nella versione tridimensionale, un uccellino chiuso in una gabbia sferica è legato con una cordicella in un punto della gabbia. Di questa variante la soluzione è stata trovata esplicitamente nel 2017. In precedenza, era già stato dimostrato che, aumentando la dimensione dello spazio, la lunghezza della corda si avvicina sempre di più a radice di 2.
Se a questo punto, visto l’alto interesse per i matematici nei confronti delle capre, vi fosse venuto il dubbio che questi animali siano più intelligenti di quanto comunemente si pensa, uno studio del 2014 lo conferma. Tale studio mostra, infatti, che questi ovini cornuti hanno spiccate abilità cognitive che permettono loro di adattarsi in nuovi ambienti alla ricerca di piante di cui sfamarsi, chiaramente nel caso in cui non siano legate in un recinto!
Per saperne di più:
Jameson, G., & Jameson, N. (2017). 101.17 Goats and birds. The Mathematical Gazette, 101(551), 296-300. doi:10.1017/mag.2017.71
Ullisch, I. A Closed-Form Solution to the Geometric Goat Problem. Math Intelligencer 42, 12–16 (2020). https://doi.org/10.1007/s00283-020-09966-0
Immagine di copertina: Due capre guardano la macchina fotografica via Shutterstock