Come modelli che simulano la dinamica di una popolazione soggetta a epidemie possono aiutare a studiare e prevenire la diffusione dell’HIV.

Nell’immaginario comune, le applicazioni della matematica al mondo reale spesso si considerano limitate ad ambiti come la fisica e l’ingegneria.  I modelli matematici, invece, trovano sempre più applicazioni in campi come la medicina e le scienze sociali.

Un fenomeno che fu studiato dai teorici già nei primi decenni del Novecento è la diffusione delle malattie infettive. Anderson McKendrick e William Kermack introdussero nel 1927 i modelli compartimentali per lo studio delle epidemie. Il più semplice di questi prevede che una popolazione in cui si diffonda una malattia possa essere suddivisa in tre parti, detti appunto compartimenti. Questi sono i suscettibili, quelli che non sono stati infettati, gli infetti che possono diffondere il contagio, e i rimossi, cioè quelli che non sono a rischio di contagio, o che sono guariti e diventati immuni, oppure ancora che sono deceduti a causa della malattia. Da questa suddivisione il modello è indicato con la sigla S.I.R. (Susceptible, Infectious, Recovered). 

Lo schema classico del modello S.I.R.  parte da una popolazione di individui suscettibili, i quali sono soggetti a un certo un tasso d’infezione e, una volta infetti, passano all’ultimo compartimento secondo un certo tasso di rimozione. L’analisi matematica del modello permette di rappresentare l’evoluzione della malattia nella popolazione dopo un certo periodo di tempo. In particolare, in base al rapporto tra i valori iniziali e i vari parametri, si può immaginare che ci sarà la scomparsa della malattia (solo suscettibili) oppure se resterà un numero stabile di individui suscettibili e infetti (equilibrio endemico).

Lo schema del modello S.I.R. Il parametro β rappresenta il tasso d’infezione e γ quello di rimozione.

Ovviamente con l’avanzare della ricerca il modello S.I.R. è stato modificato e ampliato. Ad esempio, considerando la possibilità che gli individui potessero ammalarsi nuovamente, l’influenza dell’età oppure possibili strategie di vaccinazione per controllare il numero di suscettibili. I modelli compartimentali hanno trovato applicazione soprattutto nello studio della diffusione del virus dell’HIV. In questo caso specifico, si tiene conto del fatto che gli individui infetti sono sessualmente attivi solo nella fase iniziale della malattia e che la probabilità che contagino altri individui diminuisca con l’aggravarsi dei sintomi. Inoltre questi vengono differenziati in altri due compartimenti, a seconda che si sviluppi ll’AIDS a seguito della contrazione del virus, oppure che l’individuo resti sieropositivo e muoia per cause non collegate alla malattia.

Negli ultimi anni, i modelli epidemiologici che si concentrano sulla diffusione dell’HIV considerano un’ulteriore importante variabile: il tasso di informazione e di consapevolezza della popolazione a rischio.  L’impegno dei media, del sistema educativo e della sanità per promuovere la conoscenza e la prevenzione contro l’AIDS viene visto in termini di modello come un fattore da regolare in modo da diminuire il più possibile il numero di individui a rischio di infezione, facendoli rientrare tra i rimossi. Problemi del genere vengono chiamati di “controllo ottimo” perché hanno come scopo proprio quello di elaborare la strategia migliore da mettere in atto per controllare e ridurre il diffondersi del virus.

Lo schema del modello S.I.R. con il parametro θ che rappresenta la prevenzione dal contagio grazie all’informazione.
I risultati numerici ottenuti mostrano che, quando il tasso di infezione è quasi tre volte più grande del tasso di rimozione, su un periodo di tempo di tre anni per i primi ottocento giorni circa l’efficacia della campagna di prevenzione, rappresentata dal tasso di informazione, deve essere superiore al 10%  per assicurare una diminuzione sia degli individui suscettibili che di quelli infetti.

Speriamo che tante energie spese nel lavoro di ricerca incoraggino le istituzioni a trasformare tanti parametri e numeri in iniziative concrete!

Per saperne di più:

Puntata speciale di Scientificast giornata mondiale della lotta all’AIDS

Riferimenti:

Zakary, Omar, Mostafa Rachik, and Ilias Elmouki. “On the impact of awareness programs in HIV/AIDS prevention: an SIR model with optimal control.” Int. J. Comput. Appl 133.9 (2016): 1-6.

Tripathi, Agraj, and Ram Naresh. “Modeling the role of media awareness programs on the spread of HIV/AIDS.” World Journal of Modelling and Simulation 15.1 (2019): 12-24.

Chaharborj, S. Seddighi, et al. “Behavior stability in two SIR-style models for HIV.” Int. Journal of Math Analysis 4.9 (2010): 427-434.

Immagine di copertina: Andrii Yalanskyi via Shutterstock