Partendo dal quadrante di un orologio si può costruire un’aritmetica diversa che è alla base di molti strumenti matematici, uno fra tutti la prova del nove. Chi se la ricorda?

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Sono le dieci di mattina e un vostro collega vi dice: <<Devo essere a casa tra cinque ore per vedere la partita!>>. Voi, in automatico, penserete che la partita si tiene alle tre del pomeriggio.

Avrete così messo in atto una semplice operazione mentale che tutti siamo abituati a compiere da quando abbiamo imparato a leggere l’ora sul quadrante di un orologio. Bisogna aggiungere cinque al dieci, ma sappiamo che i numeri a nostra disposizione arrivano fino al dodici e che quindi poi dovremo ricominciare dall’uno, fino ad arrivare al tre.

Immaginiamo adesso di non fermarci a una banale addizione, ma di voler eseguire un’operazione più complessa, sempre usando solo i numeri da uno a dodici. Per esempio, la potenza $latex 7^3$. Facciamo la prima moltiplicazione: 7×7=49, ma, dato che ogni volta che arriviamo a 12 si ricomincia, vuol dire che faremo quattro volte il giro dell’orologio per arrivare a 48 e poi andremo all’1, quindi 7×7=1. A questo punto sarà molto facile calcolare $latex 7^3$, in quanto possiamo scriverlo come (7×7)x7=1×7=7.

Si nota subito come, usando quella che viene chiamata “aritmetica dell’orologio”, operazioni che coinvolgerebbero numeri molto grandi vengono notevolmente semplificate. Ovviamente, il numero 12 è dettato solo dal fatto che i nostri orologi sono fatti così. Il concetto funziona anche immaginando orologi con un numero diverso di ore sul quadrante, l’importante è rispettare la regola che, una volta arrivati all’ultima ora, il giro ricomincia.

L’aritmetica dell’orologio si basa su un ramo della matematica chiamato più formalmente aritmetica modulare, introdotto da Gauss nel 1798. Gauss formulò un principio che si può spiegare facilmente utilizzando l’esempio dell’orologio: i numeri 1 e 13 hanno qualcosa in comune, poiché entrambi nella divisione per 12 danno resto 1. Lo stesso vale per tutti gli altri numeri ottenuti da 1 sommando 12, come 25, 37, 49, … Allora diremo che tutti questi numeri sono congrui tra loro modulo 12. In generale, il principio di congruenza per due numeri rispetto a un terzo numero ci dice che due numeri sono congruenti se, dividendo entrambi per il terzo, si ottiene lo stesso resto. In formule, questo si esprime come a ≡ b mod n e si legge come “a congruo b modulo n”.

Tutti i numeri che sono tra loro congrui modulo 12 possono essere raggruppati in un insieme detto classe di congruenza e di cui 1 è preso come rappresentante. La stessa cosa si può fare con tutti i numeri congrui a 2, a 3, fino a 12. In questo modo sul quadrante del nostro orologio avremo non più semplicemente le ore, ma tutti i rappresentanti delle classi di congruenza modulo 12. Allora ogni volta che eseguiamo un’operazione sull’orologio, sostituiremo i risultati maggiori di 12 con il rappresentante della loro classe.

L’utilità dell’aritmetica modulare, che è alla base di tutta la teoria algebrica dei numeri, si ritrova in altre operazioni che ci hanno insegnato alle scuole elementari, come i criteri di divisibilità e la prova del nove. Quest’ultima viene in aiuto per verificare l’esattezza del risultato di un’operazione, solitamente di una moltiplicazione.

Lo svolgimento della prova del nove è piuttosto immediato. Per ognuno dei termini (fattori e prodotto) si sommano le cifre, se serve ripetendo l’operazione, fin quando si ottiene un numero a una sola cifra per ognuno dei tre. Allora si esegue la moltiplicazione tra i due numeri rimasti per i fattori e, se questo è diverso dal numero rimasto per il prodotto, significa che probabilmente abbiamo commesso un errore nel calcolo. Attenzione però: se il risultato della prova è positivo, non è detto che il risultato della moltiplicazione sia giusto! L’unica cosa che ci dice con certezza è che se il risultato è negativo abbiamo sbagliato qualcosa.Ma poi…perché si chiama così? Cosa c’entra il nove?

La risposta si trova proprio nell’aritmetica modulare che si nasconde dietro questo algoritmo. Sommare tutte le cifre di un numero, infatti, equivale a trovare un numero più piccolo che sia congruo a quello di partenza modulo 9.  Prendiamo il numero 233. Possiamo scomporlo come 2×100+3×10+3, ma sia 100 che 10 sono congrui a 1 modulo 9, allora possiamo scrivere 2×1+3×1+3=2+3+3=8, così 8 è il rappresentante della classe di congruenza di 233. Quindi fare la prova del nove significa ripetere l’operazione con i rappresentanti delle classi dei fattori.

Dal semplice concetto su cui si basa l’aritmetica modulare scaturiscono tante applicazioni teoriche e pratiche. Infatti, essa è alla base della crittografia e dei sistemi di cifratura sempre più complessi per mantenere la sicurezza dei nostri dati. Detto questo, la prossima volta che guardate l’orologio, se non siete di fretta, fatevi due conti! Penserete mica che sia solo un passatempo da matematici?

Per saperne di più su aritmetica modulare e crittografia:

http://www.crittologia.eu/mate/aritfin.html .

Immagine di copertina: Cakes that looks like watch mad, Janna Golovacheva via Shutterstock