Dopo l’introduzione alla Relatività ristretta, continuiamo la nostra scampagnata sulla Teoria della Relatività con la seconda parte, quella sulla Relatività Generale. Einstein lavorò con l’aiuto e il contributo (anche postumo) di numerosissimi altri tra fisici e matematici.
Come nacque la relatività generale?
Abbiamo detto che la relatività ristretta è una teoria valida esclusivamente per i sistemi inerziali, cioè quei sistemi di riferimento che sono fermi o si muovono di moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro. Questo faceva pensare che tali sistemi di riferimento fossero in qualche modo “privilegiati” rispetto a quelli accelerati, e ad Einstein l’idea non piaceva. Inoltre, provando a mettere insieme la legge di gravità con la relatività ristretta si arrivava a risultati incompatibili. Si rese quindi necessario formulare una teoria fisica completamente nuova che risolvesse questi aspetti, e che includesse una descrizione della gravità diversa da quella data da Newton.
Usando diversi esperimenti mentali, tra cui il più importante è quello dell’ascensore, Einstein ebbe l’idea che la gravità potesse essere interpretata non come forza, ma come un qualcosa che modifica la geometria dello spazio-tempo, e più precisamente la caratteristica di un sistema di riferimento di essere inerziale o meno; e collegò naturalmente la presenza di materia (massa) alla gravità.
Nella figura in alto, una persona in una cabina isolata dal mondo esterno non riesce a distinguere se si trova in un ascensore fermo, sotto l’effetto della gravità, o in un’astronave in assenza di gravità che si muove con accelerazione g. Nella figura in basso, la stessa persona non riesce a distinguere se si trova in caduta libera o in assenza di gravità.
Seguendo questo ragionamento, nel 1907, Einstein riuscì finalmente ad estendere anche ai moti accelerati quello che si chiama principio di relatività; in altre parole, si potevano scrivere delle leggi della fisica che avessero la stessa forma matematica in tutti i sistemi di riferimento, anche a quelli che si muovono di moto accelerato.
Seguì una serie di pubblicazioni da parte di Einstein, dal 1908 al 1915, e molti altri a partire dal 1915, che via via costruirono la teoria della relatività generale, che include anche l’effetto di forze gravitazionali intense.
Le equazioni della relatività generale formulate da Einstein si possono riassumere molto genericamente come
G = kT
Dove G è una funzione matematica che rappresenta la curvatura dello spazio-tempo, T è un’altra funzione legata alla distribuzione di materia nello spazio (materia che è responsabile della gravità), e k è un’opportuna costante di proporzionalità.
L’equazione vera e propria è molto complessa; si dice che all’epoca in cui la teoria fu pubblicata solo una manciata di scienziati riuscirono a comprenderla, e che lo stesso Einstein dovette sudare molto per imparare la matematica necessaria a descrivere la sua teoria.
Che cosa sostiene la relatività generale?
Curvatura dello spazio-tempo ad opera delle masse
«La materia dice allo spazio-tempo come incurvarsi, e lo spazio curvo dice alla materia come muoversi»
(John Wheeler)
Nella relatività generale, non solo lo spazio e il tempo fanno parte di un’unica entità (lo spazio-tempo) ma subiscono una distorsione da parte dei campi gravitazionali. Faremo uso di un’analogia già molto sfruttata, ma sempre utile per comprendere in che modo le masse cambino le caratteristiche dello spazio-tempo.
Supponiamo di avere un telo a scacchi, fatto di un tessuto sufficientemente elastico, e di fissarlo ad un telaio, in modo che resti teso e quindi “piatto”. Se facciamo rotolare una pallina leggera sul telo, essa seguirà una traiettoria rettilinea.
Piazziamo ora al centro del telaio, sopra il telo, un oggetto abbastanza pesante. Il telo si deformerà, incurvandosi e creando una specie di “imbuto”. Facendo scorrere la stessa pallina di prima, essa non seguirà più una traiettoria rettilinea, ma tenderà a deviare verso il centro del telaio. Lo stesso disegno a scacchi del telo sarà deformato come in figura.
Rappresentazione in due dimensioni della curvatura dello spazio-tempo causata da una massa come ad esempio il pianeta Terra, fonte Wikipedia
Il telo rappresenta lo spazio-tempo e l’oggetto posto sopra di esso la massa; la presenza di oggetti massivi (come ad esempio i pianeti e le stelle) distorce lo spazio-tempo in modo analogo, anche se lo fa “dall’interno” e non perché vi poggia sopra. In questo modo, distorce quelle che in assenza di gravità erano traiettorie rettilinee e le fa diventare curve.
Dilatazione temporale e ritardo gravitazionale
La presenza di masse condiziona anche lo scorrere del tempo. Quanto più siamo vicini ad un oggetto massivo, tanto più lentamente scorre il tempo. Questo fenomeno, chiamato dilatazione temporale gravitazionale, è stato verificato sperimentalmente con orologi atomici che hanno rilevato come, a diverse altitudini, gli orologi mostrassero tempi diversi. Per un pianeta come il nostro, le differenze sono estremamente piccole, dell’ordine del miliardesimo di secondo; ma in prossimità di una stella o di un buco nero diventano molto più rilevanti (e tale fenomeno viene sfruttato nella trama del film Interstellar). Nella vita reale, i satelliti GPS devono tenere conto di questo effetto per una corretta sincronizzazione.
Un risultato diretto della dilatazione temporale è il cosiddetto redshift gravitazionale. A causa di questo fenomeno, le onde elettromagnetiche emesse da una sorgente che si trova dentro un campo gravitazionale “si allungano”. In questo modo, ad esempio, quelli che originariamente erano raggi X possono diventare microonde, oppure la luce blu può diventare rossa, e via discorrendo.
Redshift gravitazionale della luce, fonte Wikipedia
La gravità influenza il tempo in un altro modo; nel 1964, l’astrofisico americano Irwin Shapiro notò che i segnali radar emessi nello spazio ci mettevano più tempo a percorrere una certa distanza se passavano vicino ad un oggetto molto massiccio; le misure, ripetute negli anni (l’ultima, effettuata con la sonda Cassini, risale al 2013), dimostrarono che il ritardo osservato (detto ritardo gravitazionale o ritardo di Shapiro) è in accordo con le previsioni della relatività generale.
Verifica del ritardo di Shapiro tramite la sonda Viking 1. Fonte Wikipedia
Lenti gravitazionali
Come abbiamo visto nel caso del redshift gravitazionale, la presenza di oggetti massivi influenza non solo le altre masse, ma anche la luce. La luce subisce l’effetto della gravità anche col fenomeno denominato di lente gravitazionale, in cui la luce proveniente da una sorgente distante, possedendo energia che per la relatività speciale è equivalente alla massa, può essere deflessa dalla presenza di un corpo massiccio che si trovi tra la sorgente e l’osservatore. Deviando i raggi luminosi, questo corpo si comporta a tutti gli effetti come una lente; può distorcere l’immagine della sorgente, oppure duplicarla, triplicarla o addirittura quadruplicarla, o anche aumentare l’intensità della luce che ne proviene (come succede con le lenti convergenti).
A sinistra, la luce proveniente da una galassia lontana è stata distorta dalla gravità di una galassia interposta formando un anello di Einstein. A destra, l’effetto lente gravitazionale crea quattro immagini distinte di una galassia lontana nella formazione nota come croce di Einstein. Fonte Wikipedia
Nel 1919, vi fu un’eclisse solare fotografata dall’astronomo britannico Arthur Eddington, in cui fu possibile osservare che la luce delle stelle circostanti viene deflessa (curvata) dal Sole. Questa osservazione fu considerata una prova molto convincente della relatività generale, e vinse lo scetticismo di molti scienziati dell’epoca.
La deflessione della luce osservata da Arthur Eddington durante l’eclisse solare del 1919. Fonte Wikipedia
Effetti sulle orbite dei corpi celesti
Nel sistema solare, i pianeti ruotano intorno al Sole su delle orbite a forma di ellisse. Il punto di queste orbite più vicino al Sole si chiama perielio. Per una serie di motivi dovuti all’interazione gravitazionale tra i vari pianeti, il perielio si sposta progressivamente ruotando esso stesso intorno al Sole; l’effetto è più accentuato per il pianeta Mercurio, il cui perielio avanza di circa due gradi al secolo.
Si era scoperto che questo spostamento (chiamato precessione) del perielio di Mercurio era troppo rapido per essere spiegato dalla teoria della gravitazione di Newton. Nel 1919, Einstein fu in grado di spiegare questa discrepanza come una conseguenza della relatività generale.
Buchi neri
Secondo la relatività generale, in situazioni in cui la massa è concentrata in una regione molto compatta, si può formare un buco nero, cioè una regione dello spazio in cui la forza di gravità è talmente forte che nemmeno la luce riesce a scapparne. Sono stati trovati numerosi buchi neri che si pensa derivino dal collasso che subiscono alcune stelle massicce dopo essere esplose come supernova. Esistono anche dei buchi neri supermassicci al centro delle galassie, milioni o miliardi di volte più massicci del nostro Sole. La materia interstellare che cade spiraleggiando su questi buchi neri si scalda per frizione a tal punto da generare delle altissime luminosità, e si pensa che questo meccanismo sia alla base di quelle entità astronomiche chiamate quasar, gli oggetti più luminosi dell’universo.
Simulazione dell’immagine di un buco nero con un anello di materia in accrescimento, simile a quello che dovrebbe trovarsi al centro della nostra galassia. Fonte Wikipedia
Ma proprio gli oggetti come i buchi neri rappresentano uno degli aspetti problematici della teoria della relatività. Tra gli altri, la difficoltà a sviluppare una teoria unificante che includa sia la relatività generale, sia la meccanica quantistica, e la ricerca delle onde gravitazionali, perturbazioni dello spazio-tempo che sono previste dalla teoria ma che finora si sono dimostrate particolarmente sfuggenti all’osservazione diretta.
Se volete saperne di più, restate sul pezzo; andremo a cena con Einstein e ci faremo spiegare ciò che la teoria della relatività ha lasciato in sospeso.
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