Bentrovati, cari amici. Come promesso nella prima parte di questo viaggio verso la ricchezza, ecco a voi gli altri quattro Problemi del Millennio: risolvetene uno e il Premio Clay da 1 milione di dollari sarà vostro.

Equazione di Navier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes sono un set di equazioni differenziali che descrivono il flusso dei fluidi come l’acqua o l’aria, anche in casi particolarmente difficili da trattare come ad esempio i flussi turbolenti. Benché siano state formalizzate all’inizio del diciannovesimo secolo, non abbiamo ancora la risposta alla domanda più elementare che uno si possa porre: esistono soluzioni di queste equazioni? E, se esistono, sono uniche?

L’analisi di queste soluzioni potrebbe fornire risposte importanti in moltissimi campi della fluidodinamica: la sfida che vi attende consiste nel fare un “progresso sostanziale verso una teoria matematica che sveli i misteri nascosti nelle equazioni di Navier-Stokes”, provando o confutando l’esistenza e la regolarità di soluzioni nel caso tridimensionale, sotto opportune condizioni iniziali e a contorno. Buon lavoro.

Congettura di Hodge

Qui si entra nella geometria algebrica, un campo della matematica che si basa sull’uso di tecniche algebriche per risolvere problemi di geometria.

All’inizio del ventesimo secolo, i matematici scoprirono nuovi strumenti per investigare la forma di oggetti complicati. La tecnica utilizzata consisteva nell’approssimare la forma di un oggetto “incollando” insieme forme più semplici di dimensioni crescenti e si rivelò così potente e versatile che fu generalizzata e adattata a molti contesti. Tuttavia, le origini geometriche si persero nell’opera di generalizzazione. La congettura di Hodge afferma che, su particolari tipi di spazi chiamati varietà algebriche proiettive, ogni classe di Hodge è una combinazione lineare razionale di classi di cicli algebrici. Qualunque cosa voglia dire.

Congettura di Poincaré (troppo tardi)

Se poniamo un elastico attorno alla superficie di un’arancia, possiamo sempre immaginare di contrarlo pur lasciandolo a contatto con la superficie, al limite fino a farlo diventare un punto solo. Sulla superficie di una ciambella, questo non è sempre possibile senza rompere l’elastico o la ciambella. La differenza sostanziale è che la ciambella, per essere tale, deve avere un buco, checché ne dica il proverbio, mentre l’arancia, che è assimilabile a una sfera, no. Nel 1904, il matematico francese Henri Poincaré si chiese se questa proprietà della sfera fosse valida anche per la 3-sfera, l’equivalente della sfera in uno spazio a 4 dimensioni.

Григо́рий Я́ковлевич Перельма́н, per gli amici “Grisha” (fonte wikimedia).

La domanda ha atteso quasi un secolo prima che il matematico russo Grigory “Grisha” Perelman pubblicasse la soluzione della congettura di Poincaré nel 2002. Un grande giorno per la scienza, un brutto giorno per voi aspiranti milionari.

Per questo straordinario risultato, Perelman è stato insignito nel 2006 della Medaglia Fields, il più grande riconoscimento per un matematico. Perelman ha rifiutato. Nel 2010 il CMI ha annunciato l’assegnazione del premio da 1 milione di dollari. Perelman ha rifiutato anche questo.

Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

Che ci crediate o no, sono millenni che i matematici di tutto il mondo studiano le equazioni diofantee, ovvero equazioni a più incognite di cui si cercano soluzioni intere. Il più famoso esempio in questo senso è costituito dall’equazione $latex x^n+y^n=z^n$, protagonista del celeberrimo ultimo teorema di Fermat, dimostrato nel 1994 da Andrew Wiles che, per questo risultato, ottenne una borsa di 50.000 dollari. Bazzeccole.

La congettura BSD è parente del decimo problema di Hilbert – che riguardava proprio le equazioni diofantee -, dimostrato come insolubile nel 1970: non esiste un metodo generale per determinare se tali equazioni hanno soluzioni intere. Tuttavia, nel caso in cui le soluzioni siano punti di una particolare varietà algebrica nota come varietà abeliana, la congettura BSD afferma che si possono avere informazioni circa il numero di soluzioni.

Augurandomi di avervi reso un prezioso servizio, sarò felice di fornire i miei recapiti ai vincitori del Premio Clay i quali, ne sono certo, vorranno ringraziarmi per averli instradati verso un futuro prospero e redditizio.