Vi abbiamo abituati a pensare allo zero assoluto come a una temperatura irraggiungibile, così che l’idea che si possa andare sotto vi può sembrare assurda. Ma in realtà il concetto di temperatura negativa ha un suo senso fisico. E tanto per confondere ulteriormente le idee, un sistema a temperatura negativa è in realtà più caldo rispetto allo stesso sistema a qualunque temperatura positiva. Com’è possibile? Qualcosa va sviscerato nel concetto di temperatura. Abbiamo già visto come nasce il concetto di temperatura, ma per capirlo meglio ci occorrerà un piccolo excursus nella termodinamica e nella meccanica statistica.
La termodinamica classica si occupa degli stati macroscopici di un sistema fisico nel suo complesso, chiamati “macrostati” e per caratterizzarli usiamo quantità dette “variabili di stato”: temperatura, pressione, densità e volume. La meccanica statistica, invece, si occupa dei “microstati” di un sistema, cioè tutte le sue possibili configurazioni microscopiche, e di come queste possono essere descritte dalle leggi della statistica per dare origine, col loro comportamento collettivo, alle quantità macroscopiche osservabili. In genere, a ogni stato macroscopico possibile corrisponde un certo numero di microstati.
Proviamo a spiegarlo con il poker: al macrostato “scala reale di cuori” corrisponderà un solo microstato, ossia una sola configurazione di carte, mentre ci saranno moltissimi microstati che corrisponderanno al generico macrostato “coppia” (oltre un milione, secondo il calcolo combinatorio).
Ludwig Boltzmann collegò il numero di microstati di un sistema fisico alla sua entropia, di modo che l’entropia di uno stato cresce al crescere del numero di microstati corrispondenti. In questo modo, consistentemente col secondo principio della termodinamica, un sistema chiuso tende a raggiungere la massima entropia. In questa interpretazione, una coppia a poker ha un’entropia molto più alta di una scala reale di cuori.
In generale, quando forniamo energia a un sistema, ad esempio scaldando un gas, le sue molecole potranno muoversi più velocemente e distribuirsi l’energia in più modi diversi. Aumenta quindi il numero di microstati accessibili e di conseguenza anche l’entropia. Se si sottrae energia, l’entropia invece diminuisce. In altre parole, solitamente all’immissione di una certa energia, che chiamiamo dQ, corrisponde un aumento di entropia, che chiamiamo dS, e viceversa. La temperatura si definisce come il rapporto tra queste due grandezze: T = dQ/dS, e nei casi considerati finora è sempre positiva.
Ci sono però sistemi fisici per cui questo non vale. Per esempio, consideriamo un caso ideale molto specifico: un sistema quantistico costituito da un numero finito di N atomi con spin ½ vincolati a un filo unidimensionale, il cui unico grado di libertà è quello di invertire il proprio spin passando da “su” a “giù” e viceversa. L’energia totale del sistema all’interno di un campo magnetico B è data dalla formula
E=(N↑–N↓)μB
dove N↑ ed N↓ sono rispettivamente il numero di atomi con spin “su” e spin “giù” e μ è il momento magnetico di ciascun atomo. L’energia è nulla quando il numero di atomi con spin “su” e spin “giù” è lo stesso, positiva quando ci sono più atomi con spin “su” e negativa quando ci sono più atomi con spin “giù”. Lo stato ad energia minima si ha nell’unica configurazione in cui tutti gli spin sono “giù”. In questo caso l’entropia è nulla perché c’è un solo microstato possibile, tutti giù.
Se ora aggiungiamo un quanto di energia, uno degli atomi invertirà il suo spin: avremo un atomo con spin “su” e tutti gli altri con spin “giù”. Siccome non fa differenza quale degli N atomi sia, avremo N configurazioni equivalenti, quindi l’entropia aumenterà: a un aumento di calore corrisponde un aumento di entropia e quindi la temperatura è positiva. Se forniamo un altro quanto di energia, un altro atomo passerà da spin “giù” a spin “su”; a questo punto avremo un numero maggiore di configurazioni possibili (il calcolo combinatorio ci dice che sono N(N–1)/2) e quindi anche in questo caso l’entropia aumenterà e la temperatura resterà positiva.
Ma consideriamo ora lo stato a energia massima: esso ha tutti gli spin “su”. Anche a questo stato di massima energia corrisponde un solo microstato (tutti su), e la sua entropia è zero. Se sottraiamo un quanto di energia al sistema, uno degli atomi passerà da spin “su” a spin “giù”. Anche a questo stato corrispondono N possibili configurazioni, dato che qualunque atomo può aver invertito il suo spin. In questo caso, l’entropia è aumentata nonostante si sia sottratto calore. Poiché il rapporto tra dQ e dS è in questo caso negativo, anche la temperatura è negativa. Sottraendo via via quanti di energia, l’entropia continua a crescere, fino a raggiungere il valore massimo quando metà degli spin sono su e metà sono giù e siamo tornati alla configurazione a energia zero.
Abbiamo dunque creato un sistema in cui, partendo dallo stato di minima energia e aggiungendo calore, la temperatura inizialmente è positiva e sale fino allo stato di massima entropia, dopodiché diventa negativa. Quando il sistema è a temperatura negativa, è più caldo di quando è a temperatura positiva; mettendo a contatto il sistema a temperatura negativa e quello a temperatura positiva, il calore fluirebbe dal primo al secondo.
Un sistema di questo tipo è realizzabile? Sì, se esistono un limite inferiore e superiore per l’energia del sistema; sistemi a temperatura negativa sono stati realizzati sin dagli anni Cinquanta, limitandosi però a considerare soltanto le energie associate allo spin, come nel caso che abbiamo illustrato. Se si considerano anche gli altri gradi di libertà, quelli di movimento, la faccenda si fa più difficile, dato che l’energia raggiungibile nel movimento in linea di principio non ha limiti. Tuttavia, nel 2013, un gruppo di ricercatori dell’Università di Monaco e del Max Planck Institut di Garching ha portato la temperatura di una nube di atomi di potassio a qualche miliardesimo di kelvin sotto lo zero anche per i suoi gradi di libertà di movimento.
Le applicazioni della temperatura negativa contemplano amplificatori a radiofrequenza quantistici, motori termici con efficienza superiore al 100% che non violano i principi della termodinamica e, secondo alcuni, anche una spiegazione dell’energia oscura nell’Universo. Nessuna di queste, però, sembra plausibile in un futuro prossimo. Ci dovremo accontentare per il momento di aver creato un altro tassello nella ricerca di base.
Fonti:
- Kittel & Kroemer, Thermal Physics, Appendix E
- E. M. Purcell, R. V. Pound, “A nuclear spin system at negative temperature” (1951), Phys. Rev. 81, 279
- N. F. Ramsey, “Thermodynamics and statistical mechanics at negative absolute temperature” (1956) Phys. Rev. 103, 20
- S. Braun et al. “Negative Absolute Temperature for Motional Degrees of Freedom” (2013), Science 339, 52
Per approfondire:
- http://www.nature.com/news/quantum-gas-goes-below-absolute-zero-1.12146
- https://www.mpg.de/research/negative-absolute-temperature
Immagine di copertina: © Quantum Munich (tutti i diritti dell’autore, riprodotta con autorizzazione).
Ottavo paragrafo, la prima frase credo dovrebbe essere “Ma consideriamo ora lo stato ad ENERGIA massima”.
Hai ragione Luca, correggiamo subito, grazie!
Scusate ma non ho capito. Abbiamo detto che la temperatura è la variazione di energia diviso la variazione di entropia (dQ/dS).
L’esempio si basa sul fatto che si può raggiungere l’energia massima ad un livello minimo di entropia e poi togliendo energia ottenere una variazione positiva di entropia. Ma per raggiungere l’energia massima ad un livello minimo di energia non si è già passati per una temperatura negativa?
Provo a spiegarmi meglio: abbiamo detto che lo stato ad entropia maggiore è lo stato con metà spin negativi e metà spin positivi. E ok, la motivazione mi sembra chiara. Ma per ottenere lo stato con tutti gli spin positivi a partire da questo stato all’aumentare dell’energia corrisponde una diminuzione dell’entropia, quindi il rapporto dQ/dS è già negativo in un passaggio molto precedente a quello che avete descritto voi come “energia negativa”.
E quindi non mi è chiaro come si possa ottenere questa situazione, perché ok, se ho tutti spin positivi, ho entropia minima, poi riduco l’energia, ma l’entropia è costretta ad aumentare, ci sta. Ma quando nel caso di metà spin positivi e metà spin negativi cerco di aumentare l’energia perché diminuisce l’entropia?
Quello che voglio dire è che voi avete detto che questo tipo di situazione è possibile se l’energia ha un limite massimo e minimo nel sistema. Ma da questo esempio sembra che anche l’entropia debba essere necessariamente limitata, se l’entropia non avesse un limite massimo tutto questo non funzionerebbe.
E quindi mi chiedo, cosa permette di ottenere un limite massimo dell’entropia in questo sistema?
Secondo me c’è un errore di formulazione,e vi spiego perché.
Innanzi tutto, a leggerla all’inizio, la semplificazione T=dQ/dS non mi tornava: c’è scritto che aumentando Q aumenta anche S, ma allora se è cosi, se Q ed S aumentano in maniera proporzionale, T non varia, e cio’ significa che aggiungendo energia la temperatura non varia…se poi per esempio l’energia (Q) varia meno che proporzionalmente al variare dell’entropia (S), per assurdo, un aumento dell’entropia dovrebbe essere conseguenza di una diminuzione della temperatura, è cio’ mi sembra totalmente in contrasto con quanto scritto.
..ma continuiamo…
successivamente, viene detto “In questo caso, l’entropia è aumentata nonostante si sia sottratto calore. Poiché il rapporto tra dQ e dS è in questo caso negativo, anche la temperatura è negativa.”…non sono d’accordo: dQ e dS sono variabili “di flusso” mentre T è una variabile “di stock”…le tre non sono paragonabili in questa maniera, perché la temperatura non si puo’ misurare “per conseguenza” alla variazione né di entropia tantomento di energia.
Sarebbe come dire “oggi brucio meno legna di ieri, ed avendo più spazio in camera l’entropia è aumentata; quindi, essendo la variazione della legna bruciata negativa e la variazione di spazio positiva, il rapoporto delle due variazioni è negativo è quindi la temperatura in casa oggi è NEGATIVA”.
Il ragionamento corretto invece sarebbe “oggi brucio meno legna di ieri, ed avendo più spazio in camera l’entropia è aumentata; quindi, essendo la variazione della legna bruciata negativa e la variazione di spazio positiva, il rapoporto delle due variazioni è negativo è quindi la temperatura in casa oggi è PIU’ BASSA DELLA TEMPERATURA DI IERI, perché la VARIAZIONE della temperatura da ieri ad oggi è negativa”.
In conclusione, secondo me c’è un errore nel misurare T (la temperatura) come conseguenza di una variazione di stato.
Caro Alessandro, attenzione: dire “se aumenta Q aumenta S” non vuol dire che dQ e dS sono proporzionali e cioè che dQ/dS è costante. Pensa all’area di un quadrato: l’area A aumenta all’aumentare del lato L, ma il rapporto tra la variazione di lato dL non è proporzionale alla variazione di area dA, eppure il loro rapporto resta sempre positivo.
Se poi ti vai a vedere la definizione classica di variazione infinitesima di entropia, essa è misurata proprio a partire dal flusso infinitesimo di calore e della temperatura dello stato di partenza, quindi non stiamo dicendo nulla di nuovo, stiamo solo riscrivendo questa relazione in funzione della temperatura.
Infine, ancora attenzione: nel tuo esempio tu non stai usando la variazione di legna bruciata, ma la *variazione nella variazione* della legna, cioè in pratica invece che un differenziale primo (dQ) un differenziale secondo (d2Q), che non si può mettere a confronto con la variazione di entropia dS (che è un differenziale primo). Questo ti porta a fare un ragionamento sbagliato.
come sarebbe a dire “la variazione di lato dL non è proporzionale alla variazione di area dA” ?
L’area di un quadrato cresce proporzionalmente al quadrato del suo lato…
Hai detto bene: proporzionalmente al *quadrato* del lato, non proporzionalmente al lato; quindi il rapporto dA/dL non è costante. Provare per credere 🙂
Ok Silvia, ti ringrazio per le informazioni.
Evidentemente mi manca qualche conoscenza per comprendere articoli come questo nella loro integrità… È un buon indicatore sul fatto che se in futuro vorrò capirci qualcosa in più dovrò informarmi meglio (definizione di variazione infinitesimale di entropia in primis) .
Grazie e saluti allo staff.
Grazie a te per i commenti, servono sempre. Forse anche io sono andata un po’ troppo sull’astratto con la spiegazione. Provo a riprendere un’ultima volta la metafora della legna e dell’entropia: quello che ti devi chiedere non è “quanta legna ho consumato in meno rispetto a ieri”, bensì “quanta legna ho in meno rispetto a ieri”. È quello che, nel tuo esempio, rappresenta dQ (il flusso di calore), a cui corrisponde dS (la variazione di entropia).
Sarebbe a dire “oggi brucio della legna, ed essendo la variazione di legna negativa (da ieri ad oggi) mentre quella di entropia positiva (perché essendosi creato spazio, da ieri ad oggi, aumenta il numero possibile di microstati possibili), il rapporto tra le due variabili è negativo e quindi la temperatura in casa è NEGATIVA”.
Non mi torna lo stesso Silvia.
Probabilmente l’esempio per come l’ho concepito non regge perché non condivide i postulati del modello che utilizzate in fisica statistica (la casa dove brucio legna non è un sistema chiuso, la legna posizionata pronta da ardere fa parte costituisce un microstato anche esso, etc.).
Diciamo che l’esempio non aiuta tantissimo. Come rappresenti l’apporto di calore? E l’aumento di entropia? Come colleghi la metafora all’esempio in esame?
Infatti non regge, siamo d’accordo.
Come esempio è troppo esemplificativo e non tiene in conto una moltitudine di variabili necessarie all’analisi del problema.
Ho imparato lo stesso, la discussione è stata utile, la prossima volta cercherò di informarmi meglio.
Buona continuazione di ricerche
Mooolto interessante! L’argomento è tanto vasto quanto la mia ignoranza ma ci provo ugualmente invocando la vostra pietà.
A mio avviso non andrebbero considerate solo le energie associate agli spin e sarebbe opportuno specificare il sistema termodinamico di riferimento. Se parliamo di riempimenti dei livelli energetici, o semplicemente dei fononi, si ottiene una descrizione termodinamica coerente ma a seconda del sistema termodinamico di riferimento si potrebbe contraddire il principio di conservazione dell’energia.
Tenendo conto dello spin si riesce a giustificare l’entropia ma un atomo è un sistema temodinamico e se lo consideriamo come un sistema chiuso e isolato(il nostro universo o un atomo in una ipotetica morte fredda dell’universo) allora riusciamo a spiegare solo come ma non perché abbia una temperatura media negativa visto che non potrebbe scambiare né energia, né temperatura, né lavoro.
L’articolo è corretto e interessante ma se invece di aggiungere quanti ne sottraessimo? Fino a che punto potremmo sottrarli?
Questa spiegazione è coerente con la statistica di BoseEinstein e con il modello di Debye e spiegherebbe perché non si viola l’entropia ma in sé non spiega perché la materia possa avere uno stato di minima energia anche in assenza di uo scabio di energia, calore o lavoro dall’esterno.
Non ci siamo proprio: scrivendo “La temperatura si definisce come il rapporto tra queste due grandezze: T = dQ/dS” si commette un errore grossolano.
dQ/dS non è il rapporto tra due grandezze, è l’applicazione dell’operatore d/dS alla funzione Q(s)!
Che poi (solo in casi particolari), si possano svolgere operazioni algebriche su tali grandezze, è un altro paio di maniche, ma la cosa non deve essere presa per scontata (vedi “metodo Urang Utang”).
Questo è proprio uno dei casi nei quali tale sovra-semplificazione porta a risultati tanto spettacolari, quanto assurdi.
Le temperature assolute negative non esistono!