Il paradosso dei gemelli è uno dei più noti aspetti della relatività… ma la sua spiegazione non è così banale!
La teoria della relatività può dar luogo ad apparenti contraddizioni, come quella del paradosso dei gemelli. Secondo la dilatazione dei tempi descritte dalle trasformazioni di Lorentz, lo scorrere del tempo su una nave spaziale che si allontana da noi a velocità relativistiche ci apparirà fluire più lentamente. Un ipotetico astronauta che torna da un viaggio interstellare sarà quindi invecchiato meno di un suo gemello o di chiunque sia rimasto sulla Terra.
Spesso si pensa erroneamente che il paradosso consista proprio nel fatto che uno dei due è invecchiato meno dell’altro, in apparente contraddizione con la meccanica galileiana, in cui il tempo è una quantità assoluta.
In realtà l’inghippo risiede piuttosto nel fatto che, nel sistema di riferimento dell’astronauta, è la Terra a allontanarsi dal lui e sono i terrestri a sembrare muoversi più lentamente, mentre per lui il tempo sembra scorrere normalmente. Perciò al ritorno del gemello astronauta dovrebbe essere il gemello rimasto a casa a essere invecchiato di meno.
Il paradosso nasce dalla apparente simmetria tra due sistemi di riferimento, in ciascuno dei quali il tempo sembra scorrere più lento se visto dall’altro. Al momento di rincontrarsi i due fratelli non possono essere contemporaneamente più vecchi e più giovani! Perciò l’errore risiede proprio in questa ipotesi.
Nonostante le apparenze, non vi è infatti simmetria tra i due gemelli: uno accelera, si allontana, decelera e riaccelera per tornare indietro (ad esempio compiendo una semi-orbita attorno a una stella) sulla Terra. Pertanto l’astronauta è soggetto ad accelerazioni (quindi è in un sistema di riferimento NON inerziale / a velocità non costante) a differenza del gemello rimasto sulla terra *1.
Il paradosso può essere spiegato anche nel contesto della sola Relatività Speciale. Per via della contrazione delle distanze, il gemello astronauta raggiunge la sua meta percorrendo un cammino inferiore di quello misurato da terra (o da un altro astronauta che si muove a velocità non relativistiche) e impiega dunque un tempo minore per raggiungere la sua meta. Ad esempio, per raggiungere Alpha Centauri a 4 anni luce da noi, al 90% della velocità della luce, l’astronauta ritiene di aver percorso “solo” 1.8 anni luce. Se gira intorno alla stella e torna indietro alla stessa velocità avrà percorso una distanza di 8 anni luce nel sistema di riferimento terrestre, e 3.6 nel suo (conti pizzosi sotto). A parità di velocità relativa tra i due gemelli, secondo l’astronauta saranno passati meno anni dato che la distanza da lui percorsa è minore *2.
In attesa di astronavi degne di questo nome, la contrazione dei tempi relativistica è stata misurata per la prima volta nel 1971 da Hafele e Keating, portando un orologio atomico a bordo di un aereo. Volando verso est, la velocità rispetto a un sistema di riferimento inerziale (quello del sole è una approssimazione sufficiente) si somma a quella di rotazione terrestre, mentre volando verso ovest si sottrae.
D’altro canto, a 11 km di altezza risentiamo di meno del campo gravitazionale terrestre. Perciò in aereo il tempo (secondo la Relatività Generale) appare scorrere leggermente più veloce rispetto a chi è sulla superficie. Gli effetti combinati fanno sì che l’orologio sull’aereo verso est (che va più veloce rispetto alla rotazione terrestre) sembri scorrere più lentamente, misurando 59±10 nano secondi in meno (+144 RG -184 RS = -40ns attesi, quindi entro l’errore di misura) rispetto a quello rimasto a Terra. L’orologio sull’aereo verso ovest misura un ritardo di 273 nanosecondi (+179 RG +96 RS = +275 ns attesi, anche qui entro le misure) rispetto a terra.
I satelliti GPS sono più lenti di 7.2 microsecondi/giorno, ma più veloci di 45.8 microsecondi / giorno per via della loro maggiore distanza dal centro del campo gravitazionale terrestre, per un effetto complessivo di 38.6 microsecondi/giorno.
Per avere effetti più marcati è necessario avvicinarsi a campi gravitazionali più intensi come gli immancabili ed abusati buchi neri, ma questo sarà oggetto di un altro post.
Nota 1. Un sistema di riferimento non inerziale (SRNI) è percepibile tramite la forza apparente che si manifesta per via dell’accelerazione/decelerazione ed è equivalente a un campo gravitazionale per il principio (di equivalenza, appunto) alla base della Relatività Generale. Il tempo di un orologio che si trova in un campo gravitazionale (o è soggetto ad accelerazione) appare scorrere più lentamente a un osservatore che si trova al di fuori del campo.
Nota 2. Non è necessario che sia la stessa entità a tornare indietro. Il fenomeno è presente anche se l’astronauta incontra su Alpha Centauri un alieno diretto verso la terra per conquistarla. Se – prima di essere vaporizzato dall’alieno – l’astronauta gli comunica il tempo trascorso nel suo viaggio, quando l’alieno raggiungerà la terra potrà dire al gemello – prima di vaporizzare lui e tutta la Terra – che il tempo trascorso da quando il (fu) astronauta è partito è inferiore a quello percepito sulla (di lì a poco fu) Terra.
(3) Continua
Per chi è arrivato fino qui sotto, la vera storia del paradosso dei gemelli con quiz associato (trova i tre termini). Hendrik Lorentz ebbe non tre ma quattro figli: infatti con il parto di Geertruida Luberta nacque anche Carl. I due bambini avevano caratteri molto diversi e litigavano sempre. La mamma, Aletta Kaiser, trovava la differenza inspiegabile (1) .
Carl non finì mai gli studi e si diede – con successo – all’agricoltura e all’allevamento di animali (2). La madre era molto felice che finalmente anche Carl avesse trovato il suo posto nella società, anche se finché visse non riuscì mai a spiegarsi il motivo di questo repentino mutamento (3).
Immagine di copertina: Twins contrast via shipfactory/Shutterstock
dire che l’esperienza di Hafele e Keating dimostra la Relatività vuol dire non essersi accorto che la velocità RELATIVA degli orologi in volo rispetto all’orologio a terra è ESATTAMENTE la stessa e quindi non può esservi nessun effetto relativistico (if any). Penso che sarebbe ora di scrivere i libri di Fisica ragionando invece di fare il solito copia e incolla.
Ehm… Marco Casolino è un *fisico* e *ricercatore INFN* quindi posso presumere che non abbia fatto alcun copia e incolla
Eppure chi sia Casolino è scritto anche nelle note (e google è amico di tutti) e come funzioni il paradosso (e la relatività) è spiegato nell’articolo (e in milioni di altri simili)…
Condivido perfettamente, Franco Selleri professore di Fisica all’università di Bari venuto a mancare nel 2013 ha fatto un’analisi molto dettagliata degli errori di interpretazione dell’esperimento in oggetto.
Mi rammarico di non aver ribadito con sufficiente chiarezza che non è importante la velocità relativa degli orologi ma il fatto che essi siano in un sistema di riferimento accelerato (e in second’ordine la velocità relativa di ciascun orologio rispetto a terra sia diversa).
Inoltre qualunque esperimento non potra’ mai _dimostrare_ nessuna teoria, al massimo la puo’ confermare o falsificare popperianamente.
Per quanto concerne la ricerca di nuova fisica ci sono varie generalizzazioni della relatività generale, ma si basano tutti sulla speciale e non sono stati ancora confermati o smentiti da esperimenti.
Se poi ha a disposizione misure o calcoli che contraddicono o generalizzano le formule riportate nell’immagine sarei ben lieto di esaminarle
Relativamente al paradosso dei gemelli propongo un diverso approccio alla risoluzione del problema, senza distinguere tra sistemi di riferimento inerziali o non inerziali che siano e soprattutto senza ricorrere alla teoria della relatività generale.
Il paradosso lo conosciamo tutti: ci sono due gemelli sulla Terra, uno dei due decide di partire (con un’astronave e a velocità sostenuta per far sì che il fenomeno della dilatazione temporale sia più marcato) e, al suo ritorno, sarà più giovane del fratello rimasto sulla Terra ad aspettarlo.
Ma se consideriamo il gemello astronauta fermo, perché non si può ritenere che accada il contrario, ossia che il gemello rimasto sulla Terra sia più giovane rispetto al fratello? Le trasformazioni di Lorentz sono simmetriche, non è possibile tale contraddizione.
È fondamentale ricordare e sottolineare che uno dei due gemelli arriva con la sua astronave in una determinata posizione (ad esempio nelle vicinanze di una stella) che è ad una certa distanza fissa dalla Terra.
Se si considera fermo il gemello astronauta la trattazione non è simmetrica (e non c’è paradosso); in questo caso infatti non sarà solo la Terra a muoversi ma sarà tutta la distanza Terra – stella a spostarsi (e quindi a contrarsi). Quando consideriamo il gemello viaggiatore a muoversi non è lo stesso perché è solo l’astronave a contrarsi (rispetto al gemello che è rimasto sulla Terra), mentre la distanza Terra – stella è fissa e non cambia.
Se invece si considera l’astronave ferma tutto l’ Universo è in movimento e, poiché le distanze si contraggono, viene sì percorsa la distanza Terra – stella ma appunto quella contratta e non quella effettiva. (È per questo che non c’è simmetria)
Volendo, si può immaginare che alla coda dell’ astronave del gemello viaggiatore sia agganciata un’asta rigida di lunghezza pari alla distanza Terra – stella (e con direzione parallela alla distanza Terra – stella stessa).
Quando l’astronave è in moto, il gemello rimasto sulla Terra vede l’asta in movimento (quindi contratta) ed è proprio quando vedrà terminare il passaggio dell’asta davanti ai suoi occhi che suo fratello è arrivato (anche per lui infatti la distanza Terra – stella che “gli viene incontro” è contratta, questa è la trattazione simmetrica in cui non si avverte il fenomeno della dilatazione temporale).
Il secondo gemello è comunque arrivato nelle vicinanze della stella, ma solo rispetto al sistema di riferimento solidale con l’astronave, la distanza Terra-stella è infatti fissa nel sistema di riferimento solidale con chi è rimasto sulla Terra (perché non si è contratta) e all’astronave occorrerà quindi più tempo per percorrerla interamente, anche durante il viaggio di ritorno.
Occorre inoltre considerare che il gemello viaggiatore non può partire a velocità costante e neanche fermarsi immediatamente al suo ritorno; in questo caso è necessario calcolare il valore di integrali per determinare la misura dei tempi propri quando la velocità è variabile. (ad esempio io ne sono venuto a conoscenza leggendo Penrose)
Il paradosso perciò non sussiste e questo è verificabile all’interno della teoria della relatività ristretta; ribadisco che non è necessario secondo me ricorrere alla teoria della relatività generale e considerare le forze apparenti che agiscono sul gemello in viaggio.
Nella speranza di essere stato chiaro, sarò ben lieto di leggere ulteriori riflessioni.
Si’ infatti si puo’ vedere anche come una contrazione delle lunghezze di chi viaggia
Grazie per avermi risposto. D’altra parte, se la Terra per qualche strano motivo si fosse allontanata della stessa distanza Terra-stella (non contratta) per poi tornare indietro, (e se l’astronauta fosse rimasto fermo ad aspettare) il tempo proprio dell’astronauta sarebbe stato minore.
E’ logico poi che viaggiando, se ci avviciniamo a campi gravitazionali particolarmente intensi, il tempo proprio sarà ancora minore però ritengo che il paradosso dei gemelli possa essere risolto all’interno della teoria della relatività ristretta; idealmente è sempre possibile immaginare punti in moto relativo tra loro non soggetti alle inevitabili forze apparenti (misurate dai sistemi di riferimento non inerziali) e le trasformazioni di Lorentz non ancora contraddette devono continuare a valere, anche in assenza di campi gravitazionali.
Scusatemi l’errore non voluto nel mio messaggio precedente : se l’astronauta fosse rimasto ad aspettare, il tempo proprio dei terrestri sarebbe stato minore (mi riferisco al caso in cui la Terra si fosse spostata della distanza Terra – stella non contratta per poi tornare indietro). Come gli esperimenti confermano, chi viaggia quando torna è sempre più giovane!
E scusatemi ancora, il tempo proprio dei terrestri sarebbe minore nel caso la Terra si spostasse di qualsiasi distanza, se si spostasse però della distanza Terra – stella non contratta (cioè la distanza Terra – stella dove vi sarebbe dovuto andare l’astronauta) il bello è che i terrestri misurerebbero il suo stesso tempo di viaggio.
Per una volta però facciamolo aspettare e prendiamoci una rivincita!