Il linguaggio matematico si esprime solo attraverso scritte bianche su una lavagna nera? Assolutamente no, nella matematica c’è spazio per molti altri colori e alcuni teoremi ne sono la prova.

Quali colori assocereste alla matematica? Forse solo il nero delle lavagne e il bianco dei gessetti… Invece oltre a numeri, lettere e simboli, il linguaggio matematico spesso si serve anche dei colori.

Esempi di questa attitudine policroma sono due teoremi relativi alla teoria dei grafi. Un grafo è un semplice oggetto geometrico, composto da linee (o lati), ognuna unita all’altra da un punto (o vertice). Sicuramente avrete fatto almeno una volta uno di quei giochi enigmistici in cui bisogna unire i puntini…: bene, stavate disegnando un grafo!

Il primo teorema è quello di Ramsey, formulato dall’omonimo matematico nel 1928. Ramsey immaginò di avere a disposizione due colori, ad esempio il rosso e il blu, e due numeri, ad esempio 3 e 4, e di dover poi costruire un grafo colorando i lati di rosso e di blu. Si chiese allora quale fosse il numero minimo di vertici che un grafo dovesse avere in modo da contenere un sottografo di tre lati tutti rossi oppure un sottografo di quattro lati tutti blu. Per indicare questo numero di vertici si usa la notazione R(3,4).

Per dare un risvolto più pratico a quanto detto, immaginate di dare una festa con persone che possono conoscersi o meno tra loro. Allora il rapporto di conoscenza si può intendere come il lato che unisce due persone viste come vertici. Se si conoscono il lato sarà blu, altrimenti sarà rosso.

In generale, il teorema dice che, dati due numeri r ed s, esiste un numero minimo R(r,s) per cui un grafo con un numero tale di vertici contiene almeno un sottografo di r o uno di s lati che hanno tutti lo stesso colore. Inoltre vale la disuguaglianza $latex R(r,s)<R(r-1,s)+R(r,s-1)$.

Pur essendo stato possibile per Ramsey dimostrare l’esistenza di R(r,s), il calcolo del suo valore è rimasto un problema che ha tenuto impegnate le menti combinatorie per tutti i decenni a seguire. Sono stati calcolati, ad esempio, R(3,3)=6 e R(4,4)=18. Quindi, sapendo che R(3,3)=6, se la vostra festa avrà almeno sei invitati sicuramente ci saranno tre persone che si conoscono.

Già per R(5,5) è stato possibile dire solo che il risultato è compreso tra 43 e 48 (limite superiore dimostrato nel 2017 ). Il matematico Paul Erdos mostrò la complessità della situazione con un esempio fantascientifico. In caso di invasione aliena, se degli extraterrestri (singolarmente appassionati di teoria dei grafi) chiedessero il valore di R(5,5) minacciando di distruggere la Terra, se si adoperassero tutte le menti matematiche unite a tutti i computer del pianeta per calcolarlo, l’umanità sarebbe salva. Ma se malauguratamente gli alieni chiedessero R(6,6), allora per la Terra non ci sarebbe scampo.

Ovviamente il teorema si può generalizzare pensando di colorare i lati del grafo con un numero maggiore di colori. Anche in questo caso si conosce una stima, mentre il calcolo dei valori si fa ancora più complicato; gli unici ad essere stati trovati sono R(3,3,3)=17 e R(3,3,4)=30.

R(3,3,3)=17, infatti un grafo con 16 vertici può non avere nessun sottografo triangolare con lati dello stesso colore. Fonte immagine Wikipedia

Un altro risultato che mette in risalto la vena artistica dei matematici è il Teorema dei quattro colori. Questo problema interessava già lo studioso Francis Guthrie che nel 1852 si trovò a dover colorare una mappa delle contee dell’Inghilterra. Si accorse che, per colorarla in modo che due regioni confinanti non fossero dello stesso colore, erano sufficienti quattro colori. Allora si chiese se questa cosa non potesse valere per una qualsiasi mappa.

Il problema suscitò anche l’interesse del matematico De Morgan che però non riuscì a dimostrare la congettura. In modo più formale, si può immaginare di costruire un grafo che abbia un vertice in ogni regione, allora due regioni adiacenti avranno due vertici collegati da un lato (consecutivi). Quindi si vuole che due vertici consecutivi siano colorati di colore diverso.

Nel corso del diciannovesimo secolo ci furono vari tentativi di dimostrazione, ma l’unico risultato fu quello di Heawood nel 1890 per cui sicuramente bastano cinque colori, ma c’era ancora il dubbio che ne bastassero solo quattro. Tra gli anni Sessanta e Settanta, con l’uso dei computer, Heesch mise a punto un metodo per eseguire la dimostrazione avvalendosi degli strumenti informatici. Tale metodo fu poi sfruttato da Appel e Haken che nel 1976 fecero in modo che un computer dovesse analizzare 1834 possibili mappe per garantire che il risultato valesse per una mappa qualsiasi. Il processo richiese più di mille ore, ma alla fine fornì una dimostrazione del fatto che quattro colori sono sufficienti. Anche se l’evento fu commemorato dall’Università dell’Illinois con un francobollo, molte critiche furono sollevate a riguardo. Era la prima volta nella storia, infatti, che un risultato così importante veniva dimostrato con l’aiuto irrinunciabile del computer e non con i soliti strumenti della matematica: carta e penna (o lavagna e gesso), teoremi e passaggi logici. Una dimostrazione del genere, fatta andando a verificare caso per caso invece di dedurre un risultato generale, appariva incompleta e di scarso rigore alle menti più conservatrici.

 Francobollo che commemorava la dimostrazione del Teorema dei quattro colori. Fonte immagine Wikimedia.commons

Non ci sono dubbi quindi: come dimostrano questi teoremi, i colori sono validi alleati della matematica. Al di là del risvolto artistico, risultati come questi hanno permesso ai matematici di andare avanti nella ricerca formulando e dimostrando molte altre teorie. Quindi non stupitevi se mai doveste sorprendere un professore a divertirsi con le matite colorate!

Immagine di copertina: Gábor Adonyi da Pixabay