La matematica va in vacanza? Se sì, non può che alloggiare in un albergo particolare, dove il finito incontra l’infinito e c’è davvero posto per tutti.
Siamo in estate e, per molti, è tempo di andare in vacanza. Se vi siete mossi con sufficiente anticipo per organizzare il vostro viaggio, probabilmente siete riusciti a trovare una bella stanza, in una struttura vicina alla vostra meta e al giusto prezzo. Ma se siete dei ritardatari è possibile che l’hotel che faceva al caso vostro sia già al completo e non accetti altre prenotazioni. Per evitare questo inconveniente, la prossima volta cercate di anticipare la scelta dell’hotel oppure optate per un albergo in particolare: l’albergo di Hilbert!
Cos’ha di particolare questo albergo? Oltre ad essere a cinque stelle, ottima pulizia,con tutti i comfort, piscina, spa e corsi di yoga inclusi, ha la peculiarità di avere un numero infinito di stanze. Infatti, David Hilbert, colui che l’ha progettato, era un matematico che ha voluto rendere semplice per tutti non tanto la pianificazione delle proprie vacanze quanto la comprensione del concetto di infinito (numerabile) e le diverse operazioni che si possono compiere con insiemi finiti e infiniti.
Essendo una meta molto ambita, la struttura è sempre al completo, ma non disperate, al vostro arrivo potrete comunque chiedere una stanza alla reception. La gentilissima signorina nella hall, allora, inviterà ognuno degli occupanti a spostarsi dalla propria stanza a quella che ha il numero successivo. Cioè, chi si trova nella camera n si sposterà nella camera n+1; dato che le camere sono infinite, ogni numero di stanza avrà il suo successivo. In questo modo, poiché chi era nella camera numero 1 si è spostato nella camera numero 2, la camera 1 sarà a vostra completa disposizione.
Ma le capacità che gli straordinari proprietari di questo albergo hanno di rispondere alle vostre esigenze vanno ben oltre!
Se siete amanti dei viaggi gruppo, infatti, potrete sistemare comodamente tutta la vostra comitiva anche se questa è composta da un numero infinito di viaggiatori. Non fatevi scoraggiare dal fatto che una volta nella hall non ci sarà molto spazio per tutti i vostri bagagli perché la sempre più disponibile e professionale receptionist ha pronta la soluzione. Le basterà chiedere ad ogni ospite di lasciare la propria camera e di trasferirsi in quella che ha come numero il doppio della propria. Così chi aveva la stanza 2 andrà nella 4, chi aveva la 3 andrà nella 6 e, in generale, chi aveva la stanza n andrà nella 2n. Il risultato di questa operazione sarà che le stanze occupate saranno solo quelle con numero pari, mentre quelle con numero dispari, rimaste vuote, potranno essere assegnate ai componenti del vostro numeroso gruppo vacanze.
Bisogna inoltre fare menzione del fatto che l’efficientissimo staff dell’albergo di Hilbert non si lascia scoraggiare nemmeno quando, in alta stagione, arrivano in un giorno infinite compagnie di viaggiatori. Allora, è proprio il caso di dirlo, con infinita pazienza, ad ognuno dei futuri villeggianti viene consegnato un cartellino su cui è scritta una coppia di numeri (n,m). Il primo, n, è il numero della compagnia di cui il viaggiatore fa parte e il secondo, m, è il numero che lo identifica all’interno di questa. Se siete, ad esempio, il componente numero 9378 della compagnia numero 687, sul vostro cartellino ci sarà scritto (687,9378). Dopodiché verranno riordinati tutti i vacanzieri secondo lo schema seguente.

Metodo per ordinare un insieme di coppie di numeri
Così facendo, da infiniti gruppi composti da infinite persone, si è tornati ad avere un unico grande gruppo in cui ogni componente è identificato da un solo numero e a questo punto sarà sufficiente applicare la stessa strategia usata per una sola compagnia.
Come ogni albergo famoso che si rispetti, anche su questo girano storie e leggende. In particolare si dice di una volta che arrivarono talmente tanti villeggianti che gli albergatori, nonostante la loro efficienza, non riuscirono ad assegnare ad ognuno un numero di stanza; pur mettendo in ordine le persone da uno all’infinito, ce n’era sempre qualcuna che restava fuori. Allora dovettero creare un corridoio segreto, in cui le stanze erano numerate non con i Naturali (1,2,3,…) ma con i numeri Reali.
Per essere così ben organizzato ad accogliere tanti turisti questo hotel non può che essere il posto ideale per trascorrere un soggiorno indimenticabile, allora cosa aspettate? Fate le valigie e preparatevi a partire per una lunga vacanza, una di quelle che vorreste durasse per un tempo…infinito!
Per saperne di più:
- A. Bersani Uno, due, tre, infinito!
- A. Saracco Satana, Cantor e l’infinito
Immagine di copertina: Hotel room keys at reception desk counter, Dmitry Kalinovsky via Shutterstock