Prima ancora di andare a scuola, facciamo conoscenza con la matematica e ne apprendiamo le prime basi: impariamo a contare. Anche se sembra la cosa più naturale del mondo (tant’è vero che i numeri interi e positivi, uno, due tre e così via, si chiamano “numeri naturali“), formalizzare in modo corretto questo concetto non è per niente semplice, o quantomeno, non è poi così “naturale”. Oggi accettiamo le condizioni che furono identificate da Giuseppe Peano, un matematico italiano attivo tra la fine del XIX e l’inizio del XX secolo. L’idea è la seguente:
- Esiste lo 0
- Ogni numero naturale ha un successore
- 0 non è il successore di nessun numero naturale
- Numeri diversi hanno successori diversi
- Se una proprietà vale per 0 e per ogni successore di un numero per cui vale, allora vale per tutti.
Usando queste regole e l’insieme vuoto, ripetuto un numero arbitrario di volte (tanto è vuoto, “tiene poco posto”), si possono costruire insiemi contenenti un numero definito di elementi e, quindi, trovare un buon modo per definire ciascun numero naturale. Possiamo fare in diversi modi, uno abbastanza semplice è questo:
- Identifichiamo lo zero con l’insieme vuoto, ø
- Definiamo il successore di n come S(n) = n ∪ {n}
A questo punto, avremo:
- 0 ↔ ø
- 1 ↔ {ø}
- 2 ↔ {ø, {ø}}
- 3 ↔ {ø, {ø}, {ø, {ø}}}
e così via. Il numero di elementi di ciascun insieme (la sua “cardinalità“) rappresenterà il numero naturale corrispondente, in modo non più così “naturale”, forse, ma tutto sommato abbastanza chiaro. Per dare un senso matematicamente compiuto a qualcosa che i bambini imparano a fare prima di compiere cinque anni, i matematici usano un sacco di concetti ben strani, in effetti. Il loro, comunque, non è un capriccio. Un bambino di cinque anni può contare fino a 10, o a 100, poi crescendo imparerà a contare fino a un milione, un miliardo, mille miliardi di miliardi di miliardi, ma i matematici non si accontentano mai e vogliono arrivare a contare tutti i numeri naturali.
I numeri naturali, però, sono infiniti, mi direte voi.
È vero, vi risponderò io. Quello che abbiamo visto prima, però, ci dice che ciò che “contare”, per un matematico, è andare a vedere la cardinalità di un insieme. Anche quello dei numeri naturali è un insieme, sebbene infinito: i matematici chiamano questo insieme ℕ. Non possiamo sapere quanti sono i suoi elementi, ma possiamo vedere quali altri insiemi hanno tanti elementi quanti ne ha ℕ. Questa maniera di contare cose infinite ci riserva svariate sorprese, come vedremo tra poco. Innanzitutto, i matematici non dicono che ℕ ha infiniti elementi, così, genericamente, ma dicono che ne ha esattametne ℵ0. Questo numero, che si legge aleph-zero (finite le lettere latine e quelle greche, i matematici hanno iniziato a usare quelle ebraiche), rappresenta una “infinità numerabile”, cioè un numero infinito di cose, ma tale che a ciascuna di esse si possa attaccare un’etichetta con un numero naturale.
Facciamo un esempio “pratico”. Immaginiamo di avere un albergo con ℵ0 stanze, tutte occupate. Se arrivasse un nuovo ospite, dovremmo mandarlo via? No, potremmo chiedere all’ospite della stanza 0 di andare nella 1, a quello della 1 di andare nella 2, a quello della 2 nella 3 e così via, alla fine avremmo spostato tutti gli infiniti ospiti di una stanza e avremmo la stanza 0 libera. Se avessimo 5, o 10, o un milione di ospiti in più, basterebbe spostare di un numero sufficiente di stanze ciascun ospite e avremmo le prime a disposizione per un numero arbitrario di nuovi arrivati.
E se ci arrivassero ℵ0 nuovi ospiti? Non avremmo nessun problema, potremmo mandare l’ospite della stanza 1 nella 2, quello della 2 nella 4, quello della 3 nella 6 e così via, liberando tutte le stanze dispari. Avendo spostato i nostri ospiti, che erano già ℵ0, nelle sole stanze pari, ed essendoci una stanza pari per ciascuna stanza dispari, avremo ℵ0 stanze dispari a disposizione per i nuovi ospiti.
Ricapitolando, i numeri naturali sono ℵ0; se aggiungo un numero intero ad ℵ0 ottengo sempre ℵ0, se lo divido o lo moltiplico per un numero intero sempre ℵ0 rimane. I numeri pari sono tanti quanti i numeri naturali, quanti i numeri dispari: allora, se io prendo i numeri naturali, li divido in pari e dispari, cambio segno ai dispari e a ognuno sottraggo 1 e infine divido ogni numero che ottengo per 2, ritrovo tutti i numeri interi, positivi e negativi. I numeri interi, che per i matematici formano l’insieme ℤ, sono quindi tanti quanti i numeri naturali, anche se vanno da -∞ a +∞, invece che da 0 a +∞. Con un giochetto simile, si può dimostrare che anche tutti i numeri razionali, l’insieme ℚ, ha ℵ0 elementi: a questo punto, potremmo pensare che qualunque insieme infinito di numeri abbia lo stesso numero di elementi… Non è così, si può dimostrare che l’insieme dei numeri reali, ℝ, ne ha molti di più: questo ci permette di costruire una gerarchia di infiniti, infiniti “piccoli” e infiniti “grandi”, e, finalmente, capiamo perché i matematici si sono inventati un modo così complicato per contare come un bambino di cinque anni: “uno, due, tre, infinito!”
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