Il nostro primo approccio con la matematica lo abbiamo quando impariamo a contare le cose. I primi numeri che impariamo a conoscere sono così i numeri interi positivi, quelli che chiamiamo numeri naturali. A partire da questa necessità, per l’appunto molto naturale, di contare capi di bestiame, oggetti, membri della propria tribù, nell’arco di millenni l’umanità ha messo a punto una serie di regole matematiche che coinvolgono oggetti sempre più complicati e difficili da immaginare: ciononostante, molti tra i più affascinanti interrogativi che ancora assillano i matematici di tutto il mondo sono legati ai numeri interi, le cui proprietà sono ancora parecchio misteriose.

Il professor Yitang Zhang, fino a poco più di un anno fa semisconosciuto docente dell'Università del New Hampshire e ora famoso per le sue scoperte sui numeri primi (Courtesy of the John D. & Catherine T. MacArthur Foundation)

Il professor Yitang Zhang, fino a poco più di un anno fa semisconosciuto docente dell’Università del New Hampshire e ora famoso per le sue scoperte sui numeri primi (Courtesy of the John D. & Catherine T. MacArthur Foundation)

Tra i numeri naturali, un ruolo particolare lo hanno i numeri primi. Un numero si dice primo se è strettamente maggiore di 1 ed è divisibile solo per 1 o per se stesso. Sono primi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97, tra i numeri minori di 100. La frequenza con cui troviamo numeri primi, via via che saliamo, tende a diminuire lentamente: tra 1 e 100 ci sono 25 numeri primi, tra 101 e 201 ce ne sono 21, tra 201 e 300 ce ne sono 16 e, ad esempio, tra 10001 e 10100 sono 11 e tra 99901 e 100000 sono solo 8. La prima domanda che viene da farsi è: ma se diventano sempre meno frequenti, è possibile che oltre un certo numero non ce ne siano più? La risposta è no, e la prima dimostrazione dell’infinità dei numeri primi è dovuta ad Euclide ed è nota dal III Secolo a.C.. La dimostrazione non è semplicissima, ma passa per un ragionamento per assurdo che si può riassumere così: supponiamo che i numeri primi siano in numero finito e moltiplichiamoli tutti tra di loro. Otterremo un numero a molto più grande del più grande dei numeri primi, a cui potremo aggiungere 1. Ora, a+1 non è divisibile per nessuno dei numeri primi da cui siamo partiti, per cui o è primo o è divisibile per qualche numero primo più grande di quelli che credevamo gli unici esistenti. In entrambi i casi, abbiamo trovato numeri primi più grandi di quelli da cui eravamo partiti, e questo ragionamento si può ripetere all’infinito.

Quanti numeri primi ci sono da 0 a 100000, si vede come la frequenza diminuisca sempre più lentamente al crescere di N.

Quanti numeri primi ci sono da 0 a 100000, si vede come la frequenza diminuisca sempre più lentamente al crescere di N.

Da sempre, i matematici danno un sacco di attenzione alla distribuzione dei numeri primi. In particolare, cercano di trovare delle regolarità nei loro “raggruppamenti”: 2 è l’unico numero primo pari, dopo di lui ci sono 3 e 5, poi 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19 e un gran numero di coppie di numeri primi che differiscono tra loro di due unità. Queste coppie vengono definite di numeri primi gemelli e la loro frequenza diminuisce via via che si va verso numeri grandi. Euclide dimostrò che i numeri primi sono infiniti, come abbiamo visto, e congetturò che lo fossero anche le coppie di numeri primi gemelli. In oltre 2300 anni generazioni e generazioni di matematici si sono misurate con questo problema, senza mai trovare una dimostrazione: peraltro, la comunità dei matematici non cerca necessariamente una dimostrazione che la congettura sia vera, sarebbero altrettanto contenti se riuscissero a dimostrare che è falsa, in ogni caso sarebbe un risultato strepitoso! Il più grande passo avanti nella soluzione di questo problema è stato fatto poco più di un anno fa, quando un professore dell’Università del New Hampshire, Yitang Zhang, è riuscito a dimostrare che esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è minore di 70 milioni.

Si potrebbe giustamente obiettare che la differenza tra 70000000 e 2 è molto grande e che c’è ancora un sacco di lavoro da fare, prima di dare torto o ragione a Euclide, ma la differenza tra 70000000 e “infinito” è molto più grande, infinitamente più grande: nel giro di un anno, un gruppo di matematici si è riunito per lavorare sul risultato di Zhang, riuscendo a dimostrare che esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è inferiore a 246. Il cammino sembra tracciato per arrivare finalmente a una soluzione del problema e gran parte del merito va al professor Zhang, nato in Cina, naturalizzato americano, poco noto tra i suoi colleghi per la sua scarsa produttività scientifica (probabilmente non riuscirebbe ad essere abilitato secondo l’attuale legge italiana per il reclutamento dei professori universitari, a causa di questo).

Pochi giorni fa, Yitang Zhang ha coronato la serie di riconoscimenti che già aveva ricevuto per questa sua ricerca con il premio “Genius” della MacArthur Foundation, che, oltre all’onore, gli ha portato un assegno da 625000 dollari. Forse, però, più ancora che per i premi, lo invidio per aver ottenuto, all’inizio di quest’anno (sicuramente anche per i numeri primi gemelli) la sospirata cattedra da professore ordinario nella sua università.

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