Negli ultimissimi anni, sono diventate di gran moda le TV a 3 dimensioni, e di lì le telecamere e le macchine fotografiche, e, forse, presto avremo anche dei proiettori olografici, come la Principessa Leila di Guerre Stellari. Il 3D è un modo fantastico di rappresentare la realtà, che, di fatto, è a tre dimensioni anche lei. Matematicamente, vuol dire che, per definire un punto nello spazio, abbiamo bisogno di un’origine, tre direzioni e tre numeri. Allo stesso modo, su una linea ci basta un’origine e un numero (pensiamo all’autostrada A7, Genova-Milano, il km 112 corrisponde con l’uscita di Pavia Nord) e su una superficie ci bastano due numeri (come nella battaglia navale, su un piano, o con le coordinate geografiche, su una sfera).

In matematica esistono spazi a 4 dimensioni (un esempio fisico può essere lo spazio-tempo, con 3 dimensioni spaziali e una temporale) e a 5, 6, infinite dimensioni, difficili, o impossibili, da immaginare, ma che possono essere trattati matematicamente sempre nello stesso modo. Alcune delle entità geometriche più affascinanti, però, non hanno tante dimensioni, ma ne hanno un numero non intero. Prendiamo ad esempio la curva di Koch, che si ottiene così:

1. si prenda un segmento di determinata lunghezza e si divida in tre parti
2. si sostituisca la parte centrale con due parti uguali, che formano un angolo di 60º
3. ripetere dal punto 1 per tutti i segmenti da cui è formata ora la curva

Ripetendo all’infinito queste operazioni si ottiene una curva molto famosa:

Costruzione della curva di Koch (wikimedia)

Ora, ciascun “ricciolo” di questa curva è formato da infiniti riccioli più piccoli, per cui, con tutte quelle cuspidi, è impossibile misurarne la lunghezza, come facevamo con la A7. D’altra parte, usare due dimensioni per una linea appare sciocco: per questo, i matematici hanno ideato una definizione generalizzata di “dimensione”, legata alla copertura di una curva, in questo caso, con dei cerchi di raggio fissato. Riducendo il raggio dei cerchi, aumenta il numero di cerchi che servono per coprire la curva: per una retta, ad esempio, si avrà

Misura di Hausdorff per una linea.

e per un quadrato, allo stesso modo,

Misura di Hausdorff per un quadrato.

Vediamo che per una dimensione si ha che il numero di cerchi è inversamente proporzionale al raggio, mentre per due dimensioni è inversamente proporzionale al quadrato del raggio: per una qualunque figura si ha che n∝rª, dove a è la dimensione della figura. Nel caso della curva di Koch, si ha a = 1,2619, cioè ha più di una dimensione e meno di due.

La sua dimensione è frattale. Tra le tante proprietà di un oggetto frattale c’è l’omotetia interna, ovvero, ingrandendo e riducendo la figura, si ritrovano strutture uguali, soltanto più grandi o più piccole. Nella curva di Koch, ogni frammento di curva è uguale ad ogni altro, sia esso più lungo o più corto. Molte cose, in natura, sono approssimativamente frattali, dai rami degli alberi, alle infiorescenze dei broccoli, alle conchiglie delle lumache. In matematica, con semplici regole ricorsive, si possono creare insiemi frattali, tipicamente sottoinsiemi dei numeri complessi, come ad esempio il famoso insieme di Julia

Insieme di Julia (immagine ottenuta grazie a questo sito)

che altro non è che l’insieme dei numeri complessi tali che z_n+1=z²_n+c, con c costante. Per una equazione così piccola, un risultato così appariscente!