I modelli matematici studiano l’interazione tra popolazioni e ci dicono che una condizione ideale senza virus e parassiti non è conveniente.

La gran parte delle forme di vita cellulari, durante la loro storia evolutiva, si è sempre vista ospite di organismi più semplici che sfruttano i loro meccanismi biologici per replicarsi. Questi parassiti genetici, come virus, trasposoni e plasmidi, sembrano essere gli elementi genetici più diffusi sulla Terra. Essi solitamente instaurano diversi tipi di interazione con gli organismi che colonizzano. Mentre i virus preferiscono generalmente quelle più aggressive, in cui il parassita finisce per causare la morte dell’individuo, con i plasmidi si instaura quasi un rapporto di simbiosi. Ovviamente, con l’evoluzione, gli organismi più complessi hanno sviluppato strategie di difesa sempre più efficienti per proteggersi da simili attacchi. D’altra parte, i parassiti rispondono con rapide mutazioni genetiche che li rendono più forti contro le barriere difensive delle loro vittime. Ma si potrà mai arrivare ad un livello di evoluzione tale che gli organismi cellulari potranno evitare l’intromissione di qualsiasi parassita genetico?

A ben guardare la storia della vita la risposta sembrerebbe negativa. Per esserne certi possiamo usare un modello matematico per dimostrarlo. Prendiamo in considerazione un modello basato su quello di crescita logistica proposto da Verhulst nel 1838 per descrivere la crescita di una popolazione. Verhulst a sua volta si ispirò alle teorie dell’economista e demografo Malthus. In particolare, in questa equazione si tiene conto del fatto che una popolazione che si espande su un territorio in cui ci sono risorse limitate non può crescere oltre una certa soglia. Il modello può poi essere esteso al caso in cui ci siano due popolazioni a competere su un territorio per le stesse risorse e in cui la presenza di una influisce sull’espansione dell’altra (formule in calce).​

Equazione di crescita logistica. La variazione nel tempo di una popolazione N dipende sia dal tasso di crescita r che dalla capienza massima dell’ambiente in cui si sviluppa K.

Usare questi modelli ci permette di prevedere cosa succederà alle popolazioni considerate anche dopo molto tempo. Soprattutto, in base ai parametri in gioco, è possibile dire se alla fine una delle due popolazioni prevarrà sull’altra o se si avrà uno stato di coesistenza tre le due. Nel caso che stiamo considerando, è stato costruito un modello  in cui una popolazione è rappresentata dagli organismi ospitanti e l’altra dai parassiti. I parametri importanti in questo caso sono da una parte l’efficienza del sistema immunitario dell’ospite, dall’altro il costo che ha, in termini di risorse vitali, far funzionare il sistema immunitario tenerlo pronto all’attacco di nuovi parassiti. Inoltre, si considera il fatto che i parassiti si replicano molto più velocemente degli ospitanti.

Dal modello così studiato viene fuori che la  condizione ideale per cui i parassiti si estinguerebbero è che il sistema immunitario degli esseri attaccati sia estremamente efficiente. Ma se così fosse, una volta che gli attacchi dei parassiti iniziassero a diminuire, tenere un sistema immunitario tanto performante per l’organismo non sarebbe più conveniente, anzi andrebbe a discapito dell’organismo stesso. Immaginate di avere a casa un allarme potentissimo e facilissimo da usare, ma che va continuamente tenuto in funzione. Quando tutti i potenziali malintenzionati avranno deciso di tenersi alla larga da casa vostra, farlo funzionare ancora vi farebbe spendere altra energia inutilmente. Quindi è meglio avere un buon allarme che non consumi molta energia e che limiti il più possibile, senza escluderlo del tutto, l’arrivo di visitatori sgraditi.

Modelli matematici:

Modello competitivo di Lotka-Volterra. Ci sono due popolazioni, N_1 e N_2, con due tassi di crescita, r_1 e r_2, due capienze massime, K_1 e K_2, e i termini a_{12} e a_{21} che rappresentano l’interazione tra le due popolazioni.
Espansione del modello competitivo di Lotka-Volterra al caso di parassiti, P, e organismi attaccati, R. In questo caso, oltre ai tassi di crescita che sono 1 per gli ospitanti e q per i parassiti, si considerano anche l’efficienza del sistema immunitario, e*, e il costo per utilizzarlo b. Inoltre si hanno anche i tassi di mortalità dei due gruppi, che sono e_R ed e_P.

Per avere l’estinzione dei parassiti, dal punto di vista matematico la condizione sarebbe dP/dt < 0, che, nel modello considerato, corrisponde ad avere:

ossia un’efficienza e* maggiore di (q-1)/(1-bq).